一、选择题。
1．(2017·东城模拟)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
a．(0b. (1)
c．(1,2d．(2,3)
解析：∵f′(x)＝ex＋>0，f(x)在r上单调递增，又f()＝0，f(1)＝e－>0，∴零点在区间(，1)上．
答案：b2．根据下面**中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
a.(1,2) b．(0,1)
c．(－1,0) d．(2,3)
解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.
39－4>0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．
答案：a3．函数的所有零点的和等于( )
a．－2 b．－1
c．0 d．1
解析：令()x－2＝0，解得x＝－1，令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.
答案：c4．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
a．2 b．3
c．4 d．5
解析：分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点，故选a.
答案：a5．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
a．可能有3个实数根 b．可能有2个实数根。
c．有唯一的实数根 d．没有实数根。
解析：由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－)f()<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．
答案：c6．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝(
a.或－ b．－
cd．以上都不对。
解析：函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0.由f(0)＝0得a＝±.
当a＝时，f(x)＝x2＋|x|，它只有一个零点0，符合题意；当a＝－时，f(x)＝x2－|x|，它有3个零点0，－，不符合题意，综上，a＝.
答案：c二、填空题。
7．函数f(x)＝的零点个数是___
解析：函数的定义域是(3，＋∞且由f(x)＝0得x＝2或x＝1，但1(3，＋∞2(3，＋∞故f(x)没有零点．
答案：08．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是___
解析：当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>.即a的取值范围是(－∞1)∪(
答案：∪(9．函数y＝（）x|－m有两个零点，则m的取值范围是___
解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝（）x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0答案：(0,1)
三、解答题。
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈（0，），使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
g(0)＝，g（）＝f（）－g(0)·g（）<0.
又函数g(x)在（0，）上连续，存在x0∈（0，），使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
11．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解析：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
当－≤－1，即0∴a的解集为。
当－1<－<0，即a>时，须使。
即解得a≥1，a的取值范围是[1，＋∞
12．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解析：1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得。
故m的取值范围是(－，
2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组。
即－故m的取值范围是。
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