(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色。
应该是( )
a．白色b．黑色。
c．白色可能性大 d．黑色可能性大。
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：s＝，可推知扇形面。
积公式s扇等于( )
a. b.c. d．不可类比。
3．设凸n边形的内角和为f(n)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
a．nπ b．(n－2)π
c．π d．2π
4．“∵四边形abcd是矩形，∴四边形abcd的对角线相等．”以上推理的大前提是。
a．正方形都是对角线相等的四边形。
b．矩形都是对角线相等的四边形。
c．等腰梯形都是对角线相等的四边形。
d．矩形都是对边平行且相等的四边形。
5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出。
f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
a．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立。
b．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立。
c．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)d．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立。
6．已知p＝a＋ (a>2)，q＝2－a2＋4a－2 (a>2)，则( )
a．p>q b．pc．p≥q d．p≤q
7．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
a．一定是正数 b．一定是负数。
c．可能是零 d．正、负不能确定。
8．如果x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是( )
a. b．2－2
c．1＋ d．2－
9．设f(n)＝＋n∈n*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
ab.c.＋ d.－
10．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交。
点个数最多为( )
a．f(k)＋k b．f(k)＋1
c．f(k)＋k＋1 d．k·f(k)
11．三个实数a，b，c不全为0的充要条件是( )
a．a，b，c都不是0
b．a，b，c中至多有一个是0
c．a，b，c中只有一个是0
d．a，b，c中至少有一个不是0
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)
种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法，……则他从平地上到第n (n≥3)级台阶。
时的走法f(n)等于( )
a．f(n－1)＋1 b．f(n－2)＋2
c．f(n－2)＋1 d．f(n－1)＋f(n－2)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33
14．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是。
15．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是。
16．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…概括出第n个式子为。
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a、b、c是不等正数，且abc＝1，求证：＋＋
18．(12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
19.(12分)函数列满足f1(x)＝ x>0)，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]．
1)求f2(x)、f3(x)；
2)猜想fn(x)的表达式，并证明．
20．(12分)在不等边△abc中，a是最小角，求证：a<60°.
21.(12分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
1)求证：tan＝；
2)设x∈r且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
22．(12分)已知等差数列的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列的前n项和为tn，且tn＝1－bn.
1)求数列、的通项公式；
2)设数列的前n项和为sn，试比较与sn＋1的大小，并说明理由．
答案。1．a [由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1
颗珠子的颜色相同，即为白色．]
2．c [由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选c.]
3．c [作凸(n＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n边形和一个三角形．]
4．b [从小前提和结论来看其大前提是矩形都是对角线相等的四边形．]
5．d [由题设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于a不一定有k＝1,2时成立．
对于b、c显然错误．
对于d，∵f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，有f(k)≥k2成立．]
6．a [∵p＝a＋＝a－2＋＋2≥4，q＝2－a2＋4a－2＝2－(a－2)2＋2<4 (a>2)，p>q.]
7．b [∵a＋b＋c)2＝0，ab＋bc＋ac＝－(a2＋b2＋c2)<0.
又abc>0，∴＋0.]
8．b [由x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则2－(x＋y)＝xy≤2，(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2.
x>0，y>0，∴x＋y的最小值为2－2.]
9．d [f(n＋1)－f(n
10．a [增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数。
最多为f(k)＋k.]
11．d12．d [到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n
1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．]
解析 a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，归纳出每6
项一个循环，则a33＝a3＝3.
14．－2≤a<
解析当n为偶数时，a<2－，而2－≥2－＝，a<.
当n为奇数时，a>－2－，而－2－<－2，∴a≥－2.
综上可得－2≤a<.
15．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等。
解析等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．
16．1－4＋9－16＋…＋1)n－1n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋…＋n)
解析式子左边是正、负相间，奇数项为正，偶数项为负，所以用(－1)n－1调节，左子。
右边是前n个正整数的和，奇数项为正，偶数项为负，用(－1)n＋1调节．
17．证明 ∵a、b、c是不等正数，且abc＝1，＋＋
故＋＋<
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