1、已知a、b、c都是有理数， +也是有理数，证明：、、都是有理数。
解答：由题意知，1）当至少有一个为零时，如，则是有理数。
设是有理数，则，平方得，即，所以是有理数，既而也是有理数，故命题成立；
2）当全不为零时，不妨设是无理数。
设是有理数，则，平方得，移项得，平方得，因为，所以，且，所以，且，又，将上两式代入并化简得。
又，是有理数，这与是无理数矛盾，故是有理数，同理可得、都是有理数，故命题也成立。
2、（1）任意给定一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以构成一个三角形。
2）四面体一个顶点的三个角分别是，，.求由的面和的面所成的二面角。
1）证明：如图所示四面体，不妨设，若时，则过顶点的三条棱可以组成一个三角形，所以命题成立；
若时，因为，，所以，所以。
故过顶点的三条棱可以组成一个三角形，所以命题也成立。
解答：如图所示，四面体中，
取，过点作面，设，则是的面与的面所成的二面角的平面角。
则，所以，又。
作差化简得，所以，这就是的面与的面所成的二面角的余弦值。
在此例中，代入上述公式得，所以由的面和的面所成的二面角是。
3、求正整数区间中，不能被3整除的数之和。
解1：在区间中，3的正倍数有个。故区间中不能被3整除的数之和为，在区间中，3的正倍数有个，故区间中不能被3整队的数之和为。
综上，在区间中，不能被3整除的数之和为。
解2：记不小于的最小的3的倍数为，则；记不大于的最大的3的倍数为，则。
若在区间中没有3的倍数，则所求和为，若在区间中含有3的倍数，则所求和为。
事实上，在区间中没有3的倍数时，综上，在区间中不能被3整除的数之和为。
4、已知，求的取值范围。
解答：即，由，解得，即的取值范围是。
5、已知，，求。
解答：由已知得：，…
以上各式叠加： 即。令，
6、证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。
证明：假设面积大于4的矩形不覆盖原点外任何格点，则矩形面积范围在（1，1），（1，-1），（1，-1），（1，1），（1，0），（0，-1），（1，0），（0，1）这8个点范围内，不满足面积大于4，如果只是覆盖这其中一点，则与“以原点为对称中心”矛盾，故原命题成立。
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