1.设，.集合，都是的真子集， ,证明：集合或中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数。
2.设函数，且方程的两实数根是和，且， ,又。试比较与的大小。
3.求函数的最小值，并求出相应的的值。
4.已知是定义在上的不恒为的函数，且对于任意的，有。
(1)求的值；
(2)判定函数的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若， ,求数列的前项和。
5.已知关于的方程，.证明方程的正跟比小，负根比大。
6.设，是两个正数，且。当时，的最小值为，最大值为，求，值。
7.某生产队想筑一面积为的长方形围栏，围栏一边靠墙。现有铁丝网，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
8.在正方形中，过顶点作对角线的平行线，若，且直线交边于点。求证：.
9.设边长为的的重心为，外心为，外接圆半径为， ,求证：.
10.设圆满足：①截轴所得弦长为；②被轴分成两段弧，其弧长比为，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。
11.以为圆心，以为半径的圆外有一点。 已知，设过且与圆外切于点的圆的圆心为。
(1)当取某个值时，说明点的轨迹是什么曲线？
(2)点是轨迹上的动点，点是圆上的动点，记的最小值为。求的取值范围。
12.设数列的前项和为，点均在函数的图像上。
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求最小正整数，使得对所有都成立。
已知函数，.若不等式恒成立，求实数的取值范围。
2023年清华自主招生数学试题
1 已知a b c都是有理数，也是有理数，证明 都是有理数。解答 由题意知，1 当至少有一个为零时，如，则是有理数。设是有理数，则，平方得，即，所以是有理数，既而也是有理数，故命题成立 2 当全不为零时，不妨设是无理数。设是有理数，则，平方得，移项得，平方得，因为，所以，且，所以，且，又，将上两式代...
2023年清华自主招生数学试题
2009年清华大学自主招生数学试题 理科 1 设的整数部分为，小数部分为。求 求 求。2 为实数，且，求证 对于任意正整数，为正实数，求证 其中为的一种排列。3 请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。4 已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与...
2023年清华自主招生数学试题 理科文科
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