2023年清华自主招生数学试题理科文科

2023年清华大学自主招生数学试题（理科）

1．设的整数部分为，小数部分为。

求；求；求。

2．为实数，且，求证：对于任意正整数，

为正实数，求证：，其中为的一种排列。

3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。

4．已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于。

求证：，，成等比数列。

5．已知，设，求。

6．随机挑选一个三位数。

求含有因子5的概率；求中恰有两个数码相等的概率。

7．四面体中，，，

求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；设三个面与底面所成的角分别为，求证：

8．证明当均为奇数时，曲线与轴的交点横坐标为无理数

9．设均为整数，性质为：对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等。

求证：全部相等当且仅当具有性质。

2023年清华大学自主招生数学试题（理综）

1．求值：

2．请写出一个整系数多项式，使得是其一个根。

3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。

4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。

问在最坏情况下需要多少个集装箱。

5．，两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若出现在黑板上，则形如的数都不能写，不得不写1的人算输。初始状态黑板上写着5，6

问先写的人还是后写的人有必胜策略？

6．64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多8匹马参赛）

7．，两人玩一个游戏，提供若干硬币，可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点。规则是：可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点，并选择一个与它相邻的顶点，将上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在上。

若在有限步内根据规则在上放上一个硬币则获胜。已知b不想让a赢且他很聪明，试问在这两种情况下a各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。

2023年清华大学自主招生数学试题（文科）

1．已知数列，且。

求证：是等差数列；求所在的直线方程。

2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门。

求此3名男性被分别分到不同部门的概率；

求此3名男性被分到同一部门的概率；

若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率。

3．一元三次函数的三次项数为，的解集为。

若，求的解析式；若在上单调增，求的范围。

4．已知，，，求点的轨迹；直线与交于点、，求（为原点）

5．设。求证：

求的最值，并给出此时，，，满足的条件。

若，求，，，不符合时的条件。

2023年清华自主招生数学试题 理科文科