2024年清华等七校自主招生数学试题（部分）1.复数满足求。
2．正四棱柱中，m、n分别是ap、bp中点，求dm与an夹角的余弦值。
3．已知函数的切线过点p，求过点p而切点不是点p的切线的斜率。
4．中，角a+b，求的最值。
6．已知异面直线夹角为，过定点m有多少个平面与都成。
7．已知且，求：的最小值。
8．抛物线的焦点为f，直线ab过点f，抛物线准线与轴交点为c， 求：的值。
11．为非直角三角形，求证：
12．一圆柱杯其瓶底及瓶壁厚度忽略不计，质量为重心在圆柱中轴线中点上，向杯中倒入质量为的水，恰好倒满时，杯与水整体的重心还在圆柱中轴线中点上。
1）.若，求倒入的水时，重心距杯底高度与杯的高度之比。
2）倒入多少水时，杯与水整体的重心最低？
13．已知函数，数列满足。
求数列的通项公式。
14．双曲线左、右焦点分别为，右支上一点p满足。
（1）求双曲线的离心率。
15．投掷次硬币，记不连续出现三次正面向上的概率为。
（1）求：
（2）求：的递推公式，求。
2024年清华自主招生数学试题
1.设，集合，都是的真子集，证明 集合或中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数。2.设函数，且方程的两实数根是和，且，又。试比较与的大小。3.求函数的最小值，并求出相应的的值。4.已知是定义在上的不恒为的函数，且对于任意的，有。1 求的值 2 判定函数的奇偶性，并证明你的结论 3 若，求数列的前...
2024年清华自主招生数学试题
1 已知a b c都是有理数，也是有理数，证明 都是有理数。解答 由题意知，1 当至少有一个为零时，如，则是有理数。设是有理数，则，平方得，即，所以是有理数，既而也是有理数，故命题成立 2 当全不为零时，不妨设是无理数。设是有理数，则，平方得，移项得，平方得，因为，所以，且，所以，且，又，将上两式代...
2024年清华自主招生数学试题
2009年清华大学自主招生数学试题 理科 1 设的整数部分为，小数部分为。求 求 求。2 为实数，且，求证 对于任意正整数，为正实数，求证 其中为的一种排列。3 请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。4 已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与...