2023年清华大学考题。
1.求的单调区间及极值。
2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和。求。
3.已知某音响设备由五个部件组成，a电视机，b影碟机，c线路，d左声道和e右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当a与b中有一工作，c工作，d与e中有一工作；且若d和e同时工作则有立体声效果。
求：（1）能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率。
4.(1)求三直线，，所围成三角形上的整点个数；
(2)求方程组的整数解个数。
5.已知，△abc是正三角形，且b、c在双曲线一支上。
1)求证b、c关于直线对称；
2)求△abc的周长。
6.对于集合，称m为开集，当且仅当，，使得。
判断集合与是否。
为开集，并证明你的结论。
2023年清华大学自主招生数学试题。
第一天（共11题，艺术生做1－7，10－11，其他考生1－9题）
1.求公差是8、由三个质数组成的数列。
2.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p，条件p为任意取出2n个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n个数，并且这两堆数的和相等。
3.四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc。
1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。
2）设底面为bcd，设另外三个面与面bcd所形成的二面角为α，β求证：cosα+cosβ+cosγ=1。
4.（1）已知x+y=1,n为正整数，求证：x2n+y2n ≥21-2n。
2）已知x,y,z>0，a,b,c是x,y,z的一个排列。求证：。
5.随机挑选一个三位数i
1)求i含有因子5的概率。
2)求i中恰有两个数码相等的概率。
6.椭圆中，直线l过点a(-a,0),交y轴于r，交椭圆于q,另一直线过原点并平行于l，交椭圆于s，求证：aq，as的根号2倍，aq构成等比数列。
7、sint+cost=1, s=cost+isint，求i(t)=1+s+s2+s3+…+sn。
8、的整数部分为a，小数部分为b。
1）求a,b；
2）求；3）求。
第二天（共9题，挑会做的做）
1.有数条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论。
2. 给出一个整系数多项式，使有一个根为．
3. 求．4．有100个容纳量为1的箱子，每个箱子内装2件货物，共200件．线货物顺序打乱了，将足够多的箱子放在一条传送带上传送．若某货物能装入该箱子，则转入；若不能，则放入下一个箱子（如货物顺序为0.7，0.
5，0.5，0.3，则第一个箱子到面前时放入0.
7的货物，放不进0.5的货物，0.5放入下一个箱子，另一个0.
5也放入该箱子，0.3放入第三个箱子，这样共需要3个箱子）．求最坏的情况下需要几个箱子．
5.现有一数字游戏：有1到100的数，2个人轮流写。
设已经写下的数为。若一个数x能表示成（x1，x2,，…xn为非负整数），则这个数不能够被写。（如若3，5已被写，则8=3+5不能再写，13=3+5*2，9=3*3+5*0也不能再被写）。
现在甲和乙玩这个游戏，已知5，6已经被写，现在轮到甲写。问：谁有必胜策略？
6.现有100个集装箱，每个集装箱装2个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸，并且所有物品被打乱顺序。问：最坏情况下，需要多少个集装箱再次把所有物品装好？
7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线，甲提供若干个硬币，乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上，并且指定一个目标定点u。
现定义操作：从一个至少有两个硬币的点取走2个硬币，在它一个相邻的点上放回一个硬币。在指定的图下，甲最少提供多少个硬币，可以保证经过若干次操作，一定能使目标顶点u至少有一枚硬币？
（1）图是一个包含5个点的线段；（2）图是一个包含7个点的圈。
9．有64匹马，一条能容纳8匹马比赛的赛道，能否通过不超过50次比赛将64匹马从优到劣排出顺序．
2010自主招生清华大学特色测试数学试题。
1．计算．2．有一根木棒，现在要把它截成n段，每一段都必须为整数，每一次截取都满足最长的（严格）短于当前的最短的两倍，例如，一根长六米的木棒只能被截成3,3两部分，七米的则有三根3,2,2,．那么30米长的木棒最多可被分成几段呢？
3．在一维实轴上对每一点染色，要求每隔1，，的点染不同颜色，请给出一种染色方案使得所用颜色最少．
4．12个人围坐在一个圆桌旁参加一个游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫四种颜色．每个人都可以看见所有其他11个人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色．现在支持人让这12个人顺次来猜自己头上帽子的颜色．这12个人可以事先约定好一种策略，但是当游戏开始后不能进行交流，他们的目标是使12个人同时回答正确的机会最大．假定主持人给每个人发帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率．
清华大学自主招生学生自荐信
尊敬的清华大学招生办公室老师 您好！我叫 是 中学中学 学生。我与清华缘起于幼年时读过的 荷塘月色 苍茫的月光静静地泻落，田田的荷叶亭亭的立着，如同梦境般的美好景色给我留下了深刻的印象。及至我知道清华厚德载物，自强不息的校训，看到那么多的清华学子为祖国的建设贡献出巨大的力量，从此，古朴典雅 文化底蕴...
2023年清华大学自主招生自荐信
周末闲暇，我喜欢带上相机，去捕捉在我周围发生着的一切。我喜欢微笑着和不相识的人说 你好 谢谢 我会骑上我那辆嘎吱嘎吱伴奏的小破自行车去到清华大学校园里游玩。在高中两年多的时间里，我踏遍了清华校园的每一个角落。我将这样度过我的大学 我很享受现在紧张有序的高中生活，也很向往未来大学的日子。凭借我扎实的数...
2023年清华大学自主招生数学试题
姓名。题1 理科 设的整数部分为a,小数部分为b 1 求a,b 2 求a2 b2 0.5ab 3 求。题2 理科 1 x,y为实数。且x y 1,求证 对于任意正整数n,2 a,b,c为正整数，求证 其中x,y,z为a,b,c的一种排列。题3 理科 已知椭圆，过椭圆左顶点a a,0 的直线l与椭圆交...