1．（仅文科做），求证：．
1【解析】 不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有．
同理可证．当时，．于是在上单调增。
在上有。即。
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）
2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；
当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．
不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上．
且当从向移动时，先减小后增大，于是；
对于线段上任意一点，都有．于是。
由⑴，⑵知．不妨设为．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做的角平分线交于．
易知．于是四边形为平行四边形．∴．
由角平分线定理知．解得．
3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）
3【解析】 不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，且有．
由于，于是的方程为；①
的方程为． ②
联立的方程，解得．
对于①，令，得；
对于②，令，得．
于是．不妨设，，则。
不妨设，则有。
6个 9个。
又由当时，③，处的等号均可取到．
注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由知当时；当时．
则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．
4．向量与已知夹角，，，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）
4【解析】 不妨设，夹角为，则，令。
其对称轴为．而在上单调增，故．
当时，，解得．
当时，在上单调增，于是．不合题意．
于是夹角的范围为．
5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）
5【解析】 不存在；否则有，则或者．
若，有．而此时不成等差数列；
若，有．解得有．
而，矛盾！
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