2023年清华大学自主招生考试数学试题

文科数学：(^表示指数位置)

1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整数部分为a，小数部分为b。求：(1)a、b(2)b+b^2+b^3+……b^n

2、求证：(1)当x+y=1，x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1) (2)a,b,c>0,任意将其排序为x,y,z。求证：a/x+b/y+c/z>=3

3、问x^2+2px+2q=0,p、q是奇数时是否有有理数根，证明之。

4、椭圆x^2/(a^2)＋y^2/(b^2)=1,过a(-a，0)做l交椭圆与p交y轴于r，过o做l’平行于l交椭圆于q。求证：ap、根二倍oq、ar成等比数列。

5、写出所有公差是8的三项等差质数列。

6、sin t＋cos t＝1，z=cos t+i sin t(i是虚数单位)，求z^0+z^1+z^2+z^3+……z^n

7、求证：a1,a2,a3,a4……a2n+1各项相等的充要条件是数列‘an’满足条件：从中任取2n项，均可分成各含n项的两组使两组各项之和相等。

8、四面体abcd中，ab=cd,ac=bd,ad=bc，求证：(1)其四个面都是锐角三角形(2)若同一面上三个二面角是a,b,c，cosa+cosb+cosc=1

9、三位数中任取一数，求：它是5的倍数的概率；它恰有两位数字相等的概率。

理科数学：1、以e为底，某虚数为指数的运算(疑似与三角函数有关)

匹马，每场赛8匹，问理想状态下能否在50场比赛内完成排名？

3、有限条抛物线及其内部(含焦点的部分)能否覆盖整个平面？证明之。

个集装箱内共有200件货物(两件一箱)，大乱顺序重新装箱。若出现箱剩余容积不足以容纳下一件货物，封闭该箱，另取一集装箱，封闭的箱不能再打开。问再最坏的情况下，这200件货物需用多少集装箱才能重新装箱？

证明之。

5、写出一个整系数方程，使2^0.5+3^(1/3)是其一个根。

6、制定规则如下：ab轮流在黑板写整数字，写下的数不能表示成已有数字的非负线性组合，例在有后不能在写8＝3＋5，15＝3×5，9＝3×3，写下1的判输。若黑板上已有，问谁有必胜策略。

7、a选择n枚硬币，b根据自己的策略摆放这些硬币，之后a选取一个至少有2枚硬币的位点，取走一枚硬币，再将另一硬币移动到相邻位点，当指定点p上有硬币时判a胜。问再一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上，a分别至少选择多少枚硬币时，无论p的位置均可保证获胜？