2023年湖南高考数学试题（文史类）
一。选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.设命题，则为（ ）
2.已知集合，则（ ）
3.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
5.在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）
6.若圆与圆，则（ ）
7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于a. b. c. d
8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于。
a.1b.2c.3d.4
9.若，则。
a. b. c. d.
10.在平面直角坐标系中，为原点，，,动点满足，则的取值范围是。
a. bc. d.
2．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数（为虚数单位）的实部等于。
12.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为。
13.若变量满足约束条件，则的最大值为。
14.平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等。若。
机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是。
15.若是偶函数，则。
三、解答题：本大题共6小题，学科网共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。
16.（本小题满分12分）
已知数列的前项和。
（i）求数列的通项公式；
（）设，求数列的前项和。
17.（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年。
研发新产品的结果如下：
其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败。
）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研。
发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率。
18.（本小题满分12分）
如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为。
1）证明：平面；
2）求异面直线与所成角的余弦值。
19.（本小题满分13分）
如图4，在平面四边形中，（1）求的值；
（2）求的长。
20.（本小题满分13分）
如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形。
1）求的方程；
2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论。
21.（本小题满分13分）
已知函数。1）求的单调区间；
2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有。
2023年湖南高考数学试题 文科
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2023年湖南高考数学试题 理科
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