一、 填空题（没空1分，共8小题10个空，10分）1、 集合的聚点集是___上、下确界分别是。
2、 若函数是连续奇函数，是正实数，则定积分。
3、 若函数是可导的单调增函数，则___0.
4、 有界闭区间上函数的可导性、可积性、有界性、连续性中，最弱的性质是___最强的性质是。
5、 若函数是具有二阶连续导函数的凸函数，且在点满足，则函数在点取得___值。
6、 定积分与的大小关系是。
7、 若收敛数列，满足，则其极限与的大小关系是。
8、 若无穷级数收敛，则。
二、判断题（每小题2分，共5小题，10分）判断以下命题是否正确。
1、 若数列，中一个收敛，另一个发散，则数列发散。
2、 任何奇数次实系数多项式必有实数根。
3、 在上连续的周期函数必为有界函数。
4、 若无穷积分收敛，则。
5、 若二元函数在点处的两个偏导数，都存在，则函数在必可微。
三、 计算题（每小题10分，共4个小题，40分）1、求下列极限：
2、根据条件和要求计算：
1）设函数在点的领域内连续可导， ,求。
2）求函数的全微分以及在点处沿到点的方向上的方向导数。
3、求函数的傅里叶展开式，并据此求级数的和。
4、设区域关于直线对称，面积为2；函数是上的连续正函数，，求。
其中为区域的边界，取逆时针方向。
四、应用题（每小题10分，共3个小题，30分）1、 由点向圆作两条切线和，求圆周外部与该二切线所围区域的面积。
2、 将长度为的铁丝截为长度分别为的三段，围成周长分别为，长度之比分别为的三个矩形。问当为多少时，三个图形面积之和最小？
3、 求曲面包含在圆柱内那部分的面积。
五、 证明题（每小题15分，共4个小题，60分）1、 设函数在连续可导且导函数有界，函数在连续且。证明函数一致连续。
2、 设，函数在闭区间上连续，在开区间内可导。求证：存在，使得。
3、 设在实数集上二阶连续可微，.求证：若函数。
在连续，则在可导且导函数在上连续。
4、 设函数在连续可导且是有界函数，.证明无穷积分。收敛。
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