2023年初三数学难点突破一

1. 已知一次函数y1＝2x, 二次函数y2＝的图象关于y轴对称， y2的顶点为a.

(1)求二次函数y2的解析式；

(2)将y2左右平移得到y3交y2于p点，过p点作直线l∥x轴交y3于点m, 若△pam为等腰三角形，求p点坐标；

(3)是否存在二次函数，其图象经过点(－5, 2), 且对于任意一个实数x, 这三个函数所对应的函数值y1、y2、y4都有y1≤y4≤y2成立？若存在，求出函数y4的解析式；若不存在，请说明理由。

2. 如图，在平面直角坐标系中，点a的坐标为(1, －2), 点b的坐标为(3, －1), 二次函数的图象为l1.

(1)平移抛物线l1, 使平移后的抛物线过a、b两点，记抛物线为l2, 求抛物线l2的函数解析式及顶点c的坐标。

(2)设p为y轴上一点，且s△abc＝s△abp, 求点p的坐标。

3. 如图1, 在平面直角坐标系中，直线y＝x－3与坐标轴分别相交于点b、c, 抛物线l1:沿o→b→c方向进行平移，分别得到抛物线l2(顶点为b)、抛物线l3(顶点为d).

(1)求直线bc与抛物线l2的另一交点m的坐标；

(2)如图1, 当抛物线l3与ab的另一交点为n, 恰好为线段bd的中点时，求抛物线l3的解析式；

(3)将抛物线l3平移后恰好经过点b、c, 得到抛物线l4(如图2), 设p是y轴左侧抛物线l4上的一个动点，过点p作y轴的平行线，交直线bc于点q. 在点p的运动过程中， △bpq能否为等腰三角形？若能，求出q点坐标；若不能，请说明理由。

图1图24. 如图，已知抛物线l1: y＝的顶点为d, 与x轴相交于a、b两点(点a

在点b的左边), 且ab＝6.

(1)求抛物线l1的解析式及顶点d的坐标。

(2)将直线x沿y轴向下平移m个单位，若平移后的直线与抛物线l1相交于点m、n(点m在点n的左边), 且mn＝, 求m的值。

(3)点p是x轴正半轴上一点，将抛物线l1绕点p旋转180°后得到抛物线l2, 抛物线l2的顶点为c, 与x轴相交于e、f两点(点e在f的左边), 当以点d、c、f为顶点的三角形是直角三角形时，求点p的坐标。

5. 已知△abc, d为bc的中点， e为dc中点，过e用ef∥ac于f, ad的延长线于h, 连fd, df与ab的延长线交于点g.

(1)当△abc为等边三角形时，写出所有与gh相等的线段，选择一组证明；

(2)当△abc为一般三角形时，在(1)中与gh相等的线段中找出一条仍与gh相等的线段，并证明。

6. 如图， △abc中， ∠acb＝90°, ac＝bc, cd⊥ab, 垂足为d, 点e在ac上， be交cd

于点g, ef⊥be交ab于点f. 若ea＝kce.

1)若k＝1时，探索线段ef与eg的数量关系，并证明你的结论。

2)若k＝3时，探索线段ef与eg的数量关系，并证明你的结论。

7. 如图，抛物线与x轴交于两点a, b, 与y轴交于点c. 过点b作bd∥ca与抛物线交于点d, 在x轴下方的抛物线上是否存在点m, 过m作mn⊥x轴于点n, 使以a、m、n为顶点的三角形与△bcd相似？

若存在，则求出点m的坐标；若不存在，请说明理由。

8. 抛物线与x轴相交于a、b两点，与y轴相交于c点， d为抛物线的顶点，直线de⊥x轴，垂足为e,

(1) 如图1, p为直线de上的一动点，以pc为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上，若在x轴上的直角顶点只有一个，求p点的坐标；

(2) 如图2, m为抛物线上的一动点，过m作直线mn⊥dm, 交直线de于n, 当m点在抛物线的第二象限部分上运动时，是否存在使e三等分线段dn的情况？若存在，求出所有符合条件的m的坐标；若不存在，请说明理由。

图1图2

2023年初三数学难点突破 一