［例2］向50名学生调查对a、b两事件的态度，有如下结果：赞成a的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成b的比赞成a的多3人，其余的不赞成；另外，对a、b都不赞成的学生数比对a、b都赞成的学生数的三分之一多1人。问对a、b都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。属★★★级题目。
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
解：赞成a的人数为50×=30，赞成b的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为u，赞成事件a的学生全体为集合a；赞成事件b的学生全体为集合b.
设对事件a、b都赞成的学生人数为x,则对a、b都不赞成的学生人数为+1,赞成a而不赞成b的人数为30－x，赞成b而不赞成a的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以对a、b都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。
锦囊妙计。1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质p；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题。
2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如ab,则有a=或a≠两种可能，此时应分类讨论。
歼灭难点训练。
一、选择题。
1.(★集合m=,n=,则( )
2.(★已知集合a=,b=,若a中元素至多有1个，则a的取值范围是。
4.(★x、y∈r,a=,b=,当a∩b只有一个元素时，a,b的关系式是。
三、解答题。
5.(★集合a=,b=，c=,求当a取什么实数时，a∩b 和a∩c=同时成立。
6.(★已知是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作sn,设集合a=,b=.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明。
1)若以集合a中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
2)a∩b至多有一个元素；
3)当a1≠0时，一定有a∩b≠.
7.(★已知集合a=,集合b=,当a∩b=b时，求b的值。
8.(★设f(x)=x2+px+q,a=,b=.
1)求证：ab;
2)如果a=，求b.
参***。难点磁场。
解：由得x2+(m－1)x+1=0
a∩b≠方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解。
首先，由δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求。
当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内。
故所求m的取值范围是m≤－1.
歼灭难点训练。
一、1.解析：对m将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈z),m=∪,对n将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈z),n=∪∪
答案：c2.解析：∵a∪b=a，∴ba,又b≠,即2＜m≤4.
答案：d二、或a≥
4.解析：由a∩b只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.
答案：ab=
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴b=.
由x2+2x－8=0，∴c=,又a∩c=，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而a∩b ,即a∩b≠,3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
当a=5时，得a=，∴a∩c=，这与a∩c=不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得a=，符合a∩c=，a∩b ，∴a=－2.
6.解：(1)正确。在等差数列中，sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上。
2)正确。设(x,y)∈a∩b,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)当a1=0时，方程(*)无解，此时a∩b=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解，故上述方程组至多有一解。
a∩b至多有一个元素。
3）不正确。取a1=1,d=1,对一切的x∈n*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合a中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果a∩b≠,那么据(2）的结论，a∩b中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,这样的(x0,y0）a,产生矛盾，故a1=1,d=1时a∩b=，所以a1≠0时，一定有a∩b≠是不正确的。
7.解：由w=zi+b得z=,z∈a,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.
集合a、b在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合a表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合b表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面。
又a∩b=b，即ba，∴两圆内含。
因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)证明：设x0是集合a中的任一元素，即有x0∈a.
a=,∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈b,故ab.
2)证明：∵a==,方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得。
f(x)=x2－x－3.
于是集合b的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根。
将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得x=1,3, ,
故b=.
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