第八章圆锥曲线方程（5）——轨迹方程的探求方法。
主要方法：1. 直接法——直接利用数量的等量关系列出方程再化简；
2. 定义法——根据已知条件判断曲线类型，设标准方程，求出相关系数；
3. 坐标转移法——将所求轨迹的动点坐标利用有关公式转移到已知曲线上去（也称：相关点法或代入法）；
4. 参数法——如果所求曲线的动点p(x,y)中x,y受一个变数制约，可取这个变数为参数，求出曲线参数方程，再消掉参数；
5. 交轨法——如果遇到求两条动曲线的交点的轨迹方程问题，求出含同一个参数的两条曲线方程，再消掉参数；
6. 利用射影思想——当题设条件涉及几条共线段的长度时，可作出各端点在坐标轴（或平行于坐标轴的直线）上的射影，化为坐标轴（或平行于坐标轴的直线）上的有向线段的数量或长度来表示，从而化简运算；
7. 待定系数法——根据题意列出含待定系数的方程，求出待定系数。
8, 点差法——利用已知曲线两个点代入曲线方程作差，及中点坐标的关系求轨迹方程（一般有中点弦的条件）
说明：1. 若题目是求“轨迹方程”，则求出方程即可；若题目是求“点的轨迹”则需根据所求方程说明轨迹类型；
2. 求出轨迹方程必须进行讨论，将不符合条件的点除掉；
直接法。例题1：已知直线与曲线相交于不同的两点a、b，且当b变化时，求点p的轨迹方程。
解： （直线与曲线有两个交点，∴，得。
设。如图可知：
整理得： 又。
由（*）式可知：
故（1）式化为：
当时，（即点p在c外部或边界上）
化简得： 当时，（即点p在c内部）
化简得： 定义法。
例题2：在，如果三个内角满足，试求顶点a的轨迹方程。
解：以bc所在直线为x轴，bc中点为原点建立直角坐标系，则
设a(x,y) ①
又正弦定理：
有：代入①得。
即：（为定值）
由双曲线定义可知点a的轨迹方程为以b、c为焦点，焦距为a，实轴长为的双曲线的右支，（不包括顶点，a、b、c不共线）
故可得轨迹方程：
相关点法：例题3：已知定点m为oa的中点，以oa为一边作菱形oabc，mb与ac交于点p，当菱形变动时，求p点的轨迹方程。
解：设动点p(x,y),点b(a,b),由a(6,0)知m(3,0),连ob，则p为的重心。
由线段定比分点坐标公式得。
又。整理得：
点p不可能在x轴上，所求动点的轨迹方程为去掉（6，0）和（2，0）点。
例题4： 求椭圆的以点为中点的弦所在的直线方程。
解： 如图：设所求直线与椭圆的两个交点为m、n
又设 又m、n均为椭圆上的点，代入椭圆方程得。
1）-（2）并化简得：
参数法。例题5： 抛物线的焦点f，过点（0，—1）作直线交抛物线于不同的两点a、b，以af、bf为邻边作平行四边形farb，求顶点r的轨迹方程。
解： 设直线直线与抛物线交点。
由已知得f(0,1)
直线与抛物线有两个交点，∴
又ab中点
得 又 ∵farb为平行四边形，∴c为f、r中点，根据中点坐标公式有：
∴r的轨迹方程为：
交轨法。例题6： 已知点p在直线上移动，直线l通过原点且与线段op垂直，通过点及点p的直线m和直线l交于点q，求q点的轨迹方程，并指出轨迹的名称，及它的焦点坐标。
解： 设直线op的斜率为k，则p (2,2k)
∵l⊥op，∴直线l：，即。
又直线m过。
∴直线m：
由。点q的轨迹是以为中心，为焦点除去点的椭圆。
例题7：a、b是抛物线上两个动点，o为坐标原点，oa⊥ob，op⊥ab于p，求点p的轨迹。
解法一： 整理得：
联立①②消得
整理得： 则p点的轨迹为以为圆心，为半径的圆。
解法二： 解题思路 设 由
两点式求直线又，求。
得一般方程。
整理得： 则p点的轨迹为以为圆心，为半径的圆。
利用射影思想。
例题8：给出定点和直线b是直线l上的动点，∠boa的平分线交ab于c。求c点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
解：设，，则有，设d是l与x轴的交点，过c作ce⊥x轴，由ce∥bd得，由oc平分得又。
又a、b、c三点共线得，当时，有解得。
将（2）代入（1）式并整理得c点的轨迹方程为： ，点b在x轴上，，点c的坐标（0，0）满足上式。
综上得点c的轨迹方程为：
讨论：（1）当时轨迹方程化为：此方程表示抛物线弧段；
2）当时轨迹方程化为：
1 当时，此方程表示椭圆弧段；
2 当时，此方程表示双曲线一支的弧段。
待定系数法。
例题9： 椭圆c1与双曲线c2有公共焦点：且c1的长轴长是c2的实轴长的2倍，求c1,c2交点的轨迹方程。
解： 设点
故 同理：
由①②消a即可）
代入①或②得。
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