第五章平面向量、解三角形。
第二节解三角形。
第一部分五年高考荟萃。
2023年高考题。
1.(2023年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则 (
a.2b．4＋ c．4— d．
答案 a解析
由可知，所以，由正弦定理得，故选a
2.（2009全国卷ⅱ文）已知△abc中，，则。
abc. d.
答案 d解析本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cota=知a为钝角，cosa<0排。
除a和b，再由。
3.(2009全国卷ⅱ理）已知中，， 则。
a. b. c. d.
答案 d解析已知中，，.
故选d.4.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为。
答案 2 解析设由正弦定理得。
由锐角得，又，故，5.（2009全国卷ⅰ理）在中，内角a、b、c的对边长分别为、、，已知，且求b
分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手。对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分。
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有：化简并整理得：.又由已知。解得。
解法二：由余弦定理得： .又，.
所以。又，即。
由正弦定理得，故。
由①，②解得。
评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查。在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力。
另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
6.（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．
i）求的面积； （ii）若，求的值．
解 （1）因为，，又由。
得， 2）对于，又，或，由余弦定理得。
7.（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．
i）求的面积； （ii）若，求的值．
解（ⅰ）又，，而，所以，所以的面积为：
ⅱ）由（ⅰ）知，而，所以。
所以。8.（2009北京理） 在中，角的对边分别为，。
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的面积。
解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．
解（ⅰ）a、b、c为△abc的内角，且，.
（ⅱ）由（ⅰ）知，又∵，∴在△abc中，由正弦定理，得。
△abc的面积。
9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期。
2) 设a,b,c为abc的三个内角，若cosb=，，且c为锐角，求sina.
解 （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期。
2）==所以， 因为c为锐角， 所以，又因为在abc 中， cosb=, 所以 , 所以
10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值。
1）求。的值；
2）在abc中，分别是角a,b,c的对边，已知，求角c.
解 （1）因为函数f(x)在处取最小值，所以，由诱导公式知，因为，所以。所以
2）因为，所以，因为角a为abc的内角，所以。又因为所以由正弦定理，得，也就是，因为，所以或。
当时，;当时，.
命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质，并利用正弦定理解得三角形中的边角。注意本题中的两种情况都符合。
10.（2009全国卷ⅱ文）（本小题满分12分）设△abc的内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，,，求b.
解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinb=(负值舍掉)，从而求出b=。
解：由 cos（ac）+cosb=及b=π（a+c）得 cos（ac）cos（a+c）=，cosacosc+sinasinc（cosacoscsinasinc）=,sinasinc=.
又由=ac及正弦定理得
故 ，或 （舍去），于是 b= 或 b=.
又由知或。所以 b=。
11.（2009安徽卷理）在abc中，, sinb=.
i）求sina的值；
(ii)设ac=，求abc的面积。
解：（ⅰ由，且，∴，又，∴
ⅱ）如图，由正弦定理得，又。
12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在abc中，c-a=， sinb=。
i）求sina的值；(ii)设ac=，求abc的面积。
思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；
2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出。
解（1）∵∴
又 ∴2）如图，由正弦定理得∴
13.（2009江西卷文）在△中，所对的边分别为，，．
1）求；2）若，求，，．
解：（1）由得
则有 =得即。
2） 由推出 ；而，即得，则有解得
14.（2009江西卷理）△中，所对的边分别为，,.
1）求；2）若，求。
解：(1) 因为，即，所以，即 ，得 . 所以，或(不成立).
即 , 得，所以。
又因为，则，或（舍去） 得。
又， 即。得。
15.（2009天津卷文）在中，ⅰ）求ab的值。
ⅱ）求的值。
1）解：在中，根据正弦定理，，于是。
2）解：在中，根据余弦定理，得。
于是=，从而。
考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。
16.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且。
i）求的值；
ii）若，求的值。
解（i）∵为锐角，
ii）由（i）知，∴ 由得。即。
又∵17.（2009全国卷ⅱ理）设的内角、、的对边长分别为、、，求。
分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得。
故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。
也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。
评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18.（2009辽宁卷文）如图，a,b,c,d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为，，于水面c处测得b点和d点的仰角均为，ac＝0.
1km。试**图中b，d间距离与另外哪两点距离相等，然后求b，d的距离（计算结果精确到0.01km，1.
414，2.449
解：在中，＝30°，＝60°－＝30°，所以cd＝ac＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，故cb是底边ad的中垂线，所以bd＝ba 5分。
在中。即ab＝
因此，故b、d的距离约为0.33km12分。
19.（2009辽宁卷理）如图，a,b,c,d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为，，于水面c处测得b点和d点的仰角均为，ac=0.
1km。试**图中b，d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离（计算结果精确到0.01km，1.
414，2.449）
解：在△abc中，∠dac=30°, adc=60°－∠dac=30,所以cd=ac=0.1 又∠bcd=180°－60°－60°=60°，故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd=ba，
在△abc中，即ab=
因此，bd=
故b，d的距离约为0.33km
20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶m，n间的距离，飞机沿水平方向在a，b两点进行测量，a，b，m，n在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和a，b间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算m，n间的距离的步骤。
解：方案一：①需要测量的数据有：a 点到m，n点的俯角；b点到m，n的俯角；a，b的距离 d （如图所示。
第一步：计算am . 由正弦定理 ；
第二步：计算an . 由正弦定理 ；
第三步：计算mn. 由余弦定理 .
方案二：①需要测量的数据有：
a点到m，n点的俯角，；b点到m，n点的府角，；a，b的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算bm . 由正弦定理 ；
第二步：计算bn . 由正弦定理。
第三步：计算mn . 由余弦定理。
21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且。
i）求的值；
ii）若，求的值。
解（i）∵为锐角，
ii）由（i）知，∴ 由得。即。
又∵22.（2009湖北卷文） 在锐角△abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且。
ⅰ)确定角c的大小：
ⅱ）若c＝,且△abc的面积为，求a＋b的值。
解（1）由及正弦定理得，
是锐角三角形，2）解法1：由面积公式得。
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