一、知识梳理。
1.内角和定理：
在中， ；（在上单调递减）
面积公式：
设则。在三角形中大边对大角，反之亦然。
2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等。
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二边化正弦)
形式三：（比的性质）
形式四：（正弦化边）
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
形式一： 遇见二次想余弦)
形式二： ，2、方法归纳。
1)已知两角a、b与一边a,由a+b+c=π及，可求出角c，再求b、c.
2）已知两边及一角，用余弦定理。
3）已知三边，用余弦定理。
4）求角度，用余弦。
三、经典例题。
问题一：利用正弦定理解三角形。
例1】在中，若，,，则。
例2】在△abc中，已知a=,b=,b=45°,求a、c和c.
问题二：利用余弦定理解三角形。
例3】设的内角所对的边分别为。已知，，.
ⅰ）求的周长，（ⅱ求的值。
注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
例4】（2010重庆文数）设的内角a、b、c的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .
ⅰ) 求sina的值；(ⅱ求的值。
若条件改为：？
2 .在△abc中，a、b、c分别是角a，b，c的对边，且=-.
1）求角b的大小；（2）若b=，a+c=4，求△abc的面积。
问题三：正弦定理余弦定理综合应用。
例5】（2011山东文数）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c．已知．
（i）求的值；（ii）若cosb=，注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”
考虑以下式子：，例6】（2009全国卷ⅰ理）在中，内角a、b、c的对边长分别为、、，已知，且求b
注】对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的，可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) 化角化边都可以。
3． 在分别为内角a、b、c的对边，且。
（ⅰ）求角a的大小；（ⅱ若，试判断的形状。
问题四：三角恒等变形。
例7】（08重庆） 设的内角a，b，c的对边分别为a,b,c，且a=，c=3b.求：
ⅰ）的值；（ⅱcotb +cot c的值。
注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”
同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：
4.（2009江西卷理）△中，所对的边分别为，,.1）求；（2）若，求。
思考：1若求b。
2若，求c3若，求c
问题五：判断三角形形状。
例8】在△abc中，，bcosa＝cosb，试判断三角形的形状。
例9】 在△abc中，若＝，试判断三角形的形状。
5.在△abc中，若2cosbsina＝sinc，则△abc的形状一定是。
6.在△abc中，如果（a2+b2）sin（a-b）=（a2-b2）sin（a+b），判断三角形的形状。
思考：若，判断三角形的形状。
问题六：与其他知识综合。
例10】已知向量，其中a，b，c是△abc的内角，a,b,c分别是角a，b，c的对边。（1）求角c的大小；（2）求的取值范围。
注】坐标运算：设，则：
向量的加减法运算：，。
实数与向量的积：。
平面向量数量积： =
向量平行：向量垂直：
思考：1.若求，，？
2.若已知，求三角形周长和面积的取值范围。
7.（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． i）求的面积； （ii）若，求的值．
注：若条件改为。
问题7：三角实际应用。
例11】 要测量对岸a、b两点之间的距离，选取相距km的c、d两点，并测得∠acb=75°，∠bcd=45°，∠adc=30°，∠adb=45°，求a、b之间的距离。
解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。
例12】．（2007山东）20（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里。
的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处。
时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距20海里。当甲。
船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方。
向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
课后自我检测。
a 组。1．△abc中，a＝，b＝，sinb＝，则符合条件的三角形有。
a．1个 b．2个c．3个d．0个。
2.在中，a=15,b=10,a=60°，则。
abcd 3．某人朝正东方向走千米后，向右转并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值为。
ab． c．或 d．3
4.（2008福建)在△abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanb=,则角b的值为 （
abc.或d.或。
5.已知△abc中，，则。
6.在中。若，，，则a
7.已知a,b,c分别是△abc的三个内角a,b,c所对的边，若a=1,b=, a+c=2b,则sinc= .
8．已知的周长为，且．
i）求边的长；（ii）若的面积为，求角的度数．
9．在中，角、、所对应的边分别为、、，且满足．
i）求角的值；（ii）若，求的值．
10.在中，分别为内角的对边，且．
ⅰ）求；（ⅱ若，，求．
b 组。1.若△的三个内角满足，则。
a．一定是锐角三角形b．一定是直角三角形。
c.一定是钝角三角形d.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形。
2．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为（ ）
a．2 b．8cd.
3．要测量底部不能到达的电视塔ab的高度，在c点测得塔顶a的仰角是45°,在d点测得塔顶a的仰角是30°,并测得水平面上的∠bcd=120°,cd=40m,则电视塔的高度为。
a．10mb．20m c．20md．40m
4.在△abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanb＝ac，则角b的值为( )
abc.或d.或。
5.（2010天津理）（7）在△abc中，内角a,b,c的对边分别是a,b,c，若，，则a= （
abcd.6.(2008湖北)在△中，三个角的对边边长分别为，则。
的值为。7.在中，角的对边分别为，。
ⅰ）求的值；（ⅱ求的面积。
8.在中，ⅰ）求ab的值。（ⅱ求的值。
9. 在△abc中，已知b=45°,d是bc边上的一点，ad=10,ac=14,dc=6，求ab的长。
10.设的内角所对的边分别为且。（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围。
c 组。1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为。
abcd.
2．在△abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c.若∠c＝120°，c＝a，则( )
a．a>bb．ac．a＝bd．a与b的大小关系不能确定。
3．(2010·新课标全国卷)在△abc中，d为边bc上一点，bd＝cd，∠adb＝120°，ad＝2.若△adc的面积为3－，则∠bac
4.（天津市河东区2023年高三一模）17.如图所示，在△abc，已知，，ac边上的中线，求：（1）bc的长度；
（2）的值。
5．设△abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且atanb＝，bsina＝4.
(1)求cosb和a；(2)若△abc的面积s＝10，求cos4c的值．
6．已知△abc的三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若2b=a+c，且2cos2b－8cosb＋5＝0，求角b的大小，并判断△abc的形状．
7.在中，分别为角的对边，且满足。
ⅰ）求角的值；
ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值。
8..已知函数，
1) 求函数的最小正周期；
（2）记的内角a,b,c的对边长分别为，若，求的值。
9. 已知的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，．
1)求的值； (2)求的值．
10. (山东省青岛市2023年3月高考第一次模拟文科)已知向量，函数。
ⅰ)求函数的最小正周期；
ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边， 其中为锐角， ,且，求和的面积。
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