第十四章系列4
第十四章系列4
第一部分五年高考荟萃。
2023年高考题。
一、填空题。
1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
解析】将化为普通方程为，斜率，当时，直线的斜率，由得；
当时，直线与直线不垂直。
综上可知，.
答案 2、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点a、b、c是圆o上的点，且ab=4，，则圆o的面积等于。
图3 解析】连结ao,ob,因为 ,所以，为等边三角形，故圆。
o的半径，圆o的面积。
答案 3、(天津理13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为___
解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
答案 4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中。
取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线。
为参数）相交于两点a和b，则|ab
解析】直线的普通方程为，曲线的普通方程。
答案 二、解答题。
5、（09海南22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知的两条角平分线和相交于h，，f在上，且。
ⅰ）证明：b,d,h,e四点共圆：
ⅱ）证明：平分。
解：（ⅰ在△abc中，因为∠b=60°，所以∠bac+∠bca=120°.
因为ad，ce是角平分线，所以∠hac+∠hca=60°，故∠ahc=120
于是∠ehd=∠ahc=120°.
因为∠ebd+∠ehd=180°，所以b,d,h,e四点共圆。
ⅱ）连结bh,则bh为∠abc的平分线，得∠hbd=30°
由（ⅰ）知b,d,h,e四点共圆，所以∠ced=∠hbd=30°.
又∠ahe=∠ebd=60°，由已知可得ef⊥ad，可得∠cef=30°.
所以ce平分∠def.
6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线c： （t为参数）， c：（为参数）。
1）化c，c的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
2）若c上的点p对应的参数为，q为c上的动点，求中点到直线。
（t为参数）距离的最小值。
解：（ⅰ为圆心是（，半径是1的圆。
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
ⅱ）当时，为直线。
从而当时，7、（09海南24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
如图，o为数轴的原点，a,b,m为数轴上三点，c为线段om上的动点，设x表示c与原点的距离，y 表示c到a距离4倍与c道b距离的6倍的和。
1）将y表示成x的函数；
2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ 解。
ⅱ）依题意，x满足。
解不等式组，其解集为【9，23】
所以。8、（09江苏）a.选修4 - 1：几何证明选讲。
如图，在四边形abcd中，△abc≌△bad.
求证：ab∥cd.
解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，
考查推理论证能力。满分10分。
证明：由△abc≌△bad得∠acb=∠bda，故a、b、c、d四点共圆，从而∠cba=∠cdb。再由△abc≌△bad得∠cab=∠dba。
因此∠dba=∠cdb，所以ab∥cd。
b. 选修4 - 2：矩阵与变换。
求矩阵的逆矩阵。
解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。
解：设矩阵a的逆矩阵为则。
即故。解得：，从而a的逆矩阵为。
c. 选修4 - 4：坐标系与参数方程。
已知曲线c的参数方程为（为参数，）.
求曲线c的普通方程。
解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解因为所以。
故曲线c的普通方程为：.
d. 选修4 - 5：不等式选讲
设≥＞0,求证：≥.
证明：因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，即≥.
9、（09辽宁理22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
已知 abc 中，ab=ac, d是 abc外接圆劣弧上。
的点（不与点a,c重合），延长bd至e。
1)求证：ad的延长线平分cde；
2)若bac=30，abc中bc边上的高为2+，求abc
外接圆的面积。
解（ⅰ）如图，设f为ad延长线上一点。
a，b，c，d四点共圆，∠cdf=∠abc
又ab=ac ∴∠abc=∠acb,且∠adb=∠acb, ∴adb=∠cdf,对顶角∠edf=∠adb, 故∠edf=∠cdf,即ad的延长线平分∠cde.
ⅱ）设o为外接圆圆心，连接ao交bc于h,则ah⊥bc.
连接oc,a由题意∠oac=∠oca=150, ∠acb=750,∠och=600.
设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。
10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以o为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为cos（）=1，m,n分别为c与x轴，y轴的交点。
1）写出c的直角坐标方程，并求m,n的极坐标；
2）设mn的中点为p，求直线op的极坐标方程。
解（ⅰ）由。
从而c的直角坐标方程为。
ⅱ）m点的直角坐标为（2，0）
n点的直角坐标为。
所以p点的直角坐标为。
所以直线op的极坐标方程为。
11、（09辽宁理24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲。
设函数。1）若解不等式；
2）如果，求的取值范围。
解（ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.
由f(x)≥3得。
x－1︳+︱x+1|≥3
ⅰ）x≤－1时，不等式化为。
1－x－1－x≥3 即－2x≥3
2005—2023年高考题。
一、填空题。
1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方
程分别为，则曲线与交点的极坐标为。
答案 2．（2008广东理）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程。
有实根，则的取值范围是。
答案 3．（2008广东理）（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．
是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径。
答案 二、解答题。
4.（2008宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲。
如图，过圆o外一点m作它的一条切线，切点为a，过a作直线ap垂直于直线om，垂足为p.
1）证明：om·op = oa2；
2）n为线段ap上一点，直线nb垂直于直线on，且交圆o于b点。过b点的切线。
交直线on于k.证明：∠okm = 90°.
1）证明因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，2）证明因为是圆的切线，．
同（1），有，又，所以，即．
又，所以，故．
5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲。
已知曲线c1：，曲线c2：.
1）指出c1，c2各是什么曲线，并说明c1与c2公共点的个数；
2）若把c1，c2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出。
的参数方程。与公共点的个数和c1与c2公共点的个数是否相同？说。
明你的理由。
解（1）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．
因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．
2）压缩后的参数方程分别为。
（为参数）； t为参数）．
化为普通方程为：：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
6.（2008宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲。
已知函数。1）作出函数的图象；
2）解不等式。
解（1）图象如下：
2）不等式，即，由得．
由函数图象可知，原不等式的解集为．
7.（2008江苏）a.选修4-1：几何证明选讲
如图所示，设△abc的外接圆的切线ae与bc的延长线。
交于点e，∠bac的平分线与bc交于点d.求证：ed2=ec·eb.
b.选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xoy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵a=对应的变换下得到曲线f，求f的方程。
c：选修4-4：坐标系与参数方程。
在平面直角坐标系xoy中，设p(x,y)是椭圆上的一个动点，求s=x+y的最大值。
d：选修4-5：不等式选讲。
设a,b,c为正实数，求证：
a.证明： 如图所示，因为ae是圆的切线，
又因为ad是∠bac的平分线，
所以∠bad=∠cad.
从而∠abc+∠bad=∠cae+∠cad.
因为∠ade=∠abc+∠bad，∠dae=∠cae+∠cad，
所以∠ade=∠dae，故ea=ed.
因为ea是圆的切线，所以由切割线定理知，ea2=ec·eb， 而ea=ed，所以ed2=ec·eb.
b.解： 设p（x0,y0）是椭圆上任意一点，点p（x0，y0）在矩阵a对应的变换下变为点p′(x′0,y′0),则有。
又因为点p在椭圆上，故。
所以曲线f的方程为。
c.解：由椭圆。
故可设动点p的坐标为（）,其中。
因此，所以当。
d.证明：因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得。
所以。第二部分三年联考汇编。
2023年联考题。
一、选择题。
1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程=cosθ化为直角坐。
标方程为。a.（x+）2 + y+）2
+（y-）2d.（x-）2 + y2 =
答案 d.2、（2009上海普陀区）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的。
近五年高考数学分析
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