2024年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线（答案解析）
1.（2016全国高考新课标ⅰ卷· 文数20t）（12分）在直角坐标系中，直线交轴于点m，交抛物线于点p，m关于p的对称点为n，连结on并延长交于点h
ⅰ）求；ⅱ）除h以外，直线mh与是否有其它公共点？说明理由。
解：（ⅰ由已知得，.又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，，因此。所以为的中点，即。
ⅱ）直线与除以外没有其它公共点。理由如下：
直线的方程为，即。代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点。
2．（2016全国高考新课标ⅰ卷· 理数20t） (本小题满分12分)
设圆的圆心为a，直线l过点b(1，0)且与x轴不重合，l交圆a于c，d两点，过b作ac的平行线交ad于点e．
ⅰ）证明为定值，并写出点e的轨迹方程；
ⅱ）设点e的轨迹为曲线c1，直线l交c1于m，n两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于p，q两点，求四边形mpnq面积的取值范围．
解：（ⅰ因为，，故，所以，故。又圆的标准方程为，从而，所以。
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得则，.所以。
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以。
故四边形的面积。
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为。
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为。
3．（2016全国高考新课标ⅱ卷· 文数21t）（本小题满分12分）已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
ⅰ）当时，求的面积；
ⅱ）当时，证明：．
解：（ⅰ椭圆的左顶点为．因为且，所以为等腰直角三角形，所以轴．
设交轴与点，所以为等腰直角三角形，所以得．因为点在椭圆上，所以，整理得，解得或（舍去）．所以的面积．
ⅱ）设直线方程．联立椭圆直线方程，消去整理得．设点，则。
于是，所以，所以，因为，所以．因为，所以，即．
设，则，所以函数在区间内单调递增，因为，，所以函数的零点，即的取值范围是．
4.（2016全国高考新课标ⅱ卷· 理数20t）（本小题满分12分）
已知椭圆e: 的焦点在轴上，a是e的左顶点，斜率为的直线交e于a，m两点，点n在e上，ma⊥na.
）当，时，求△amn的面积；
）当时，求k的取值范围。
解：（1）当时，椭圆e的方程为，a点坐标为，则直线am的方程为．联立并整理得，解得或，则。
因为，所以。
因为，所以，整理得，无实根，所以．
所以的面积为．
2）直线am的方程为，联立并整理得，
解得或，所以。
所以。因为。
所以，整理得，．
因为椭圆e的焦点在x轴，所以，即，整理得。
解得．5.（2016全国高考新课标ⅲ卷· 文数20t）（本小题满分12分）
已知抛物线c：y2=2x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点。
ⅰ）若f**段ab上，r是pq的中点，证明ar∥fq；
ⅱ）若△pqf的面积是△abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程。
解：（ⅰ由题设。设，则，且。
记过两点的直线为，则的方程为。 .3分。
ⅰ）由于**段上，故。
记的斜率为，的斜率为，则。
所以5分。ⅱ）设与轴的交点为，则。
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为。
当与轴不垂直时，由可得。
而，所以。当与轴垂直时，与重合。所以，所求轨迹方程为。 .12分。
6.（2016全国高考新课标ⅲ卷· 理数20t）（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
i）若**段上，是的中点，证明；
ii）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程。
答案】（ⅰ见解析；（ⅱ
考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
2024年新课标全国卷试题汇编 圆锥曲线老师专用
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