邯郸市第一中学2016届高三第十次研究性考试。
21.已知函数．
1）若，求函数的最大值；
2）令，讨论函数的单调区间；
3）若，正实数满足，证明：
21．解：（１因为，所以，此时，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为4分。
2），所以．
当时，因为，所以．
所以在上是递增函数，当时，令，得，所以当时，，当时，因此函数在是增函数，在是减函数．
综上，当时，函数的递增区间是，无递减区间；
当时，函数的递增区间是，递减区间是8分。
3）当，．由，即，从而．
令，则由得，．
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因为，因此成立12分。
江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺（理）（五）
21．已知函数．
1）当时，证明：；
2）当，且时，不等式成立，求实数的值．
21．证明：（1）
令．则在上是增函数．
故，即命题结论成立………5分。
2）当时，，;
当时，， 所以，原不等式可化为．令．令。
当时，有．令，则，故在上是减函数，即．
因此在上是减函数，从而，所以，当时，对于，有。
当时，有．令，则，故在上是增函数，即．
因此，在上是减函数，从而，．
所以，当时，对于有。
综上，当时，在，且时，不等式成立．……12分。
江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺（理）
21．（本小题满分12分）
已知函数．ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若存在，使得（e是自然对数的底数），求实数的取值范围．
21． 解1分。
因为当时，，在上是增函数，因为当时，，在上也是增函数，所以当或，总有在上是增函数2分。
又，所以的解集为，的解集为，……3分。
故函数的单调增区间为，单调减区间为4分。
ⅱ）因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可5分。
又因为，，的变化情况如下表所示：
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．……7分。
因为，令，因为，所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即9分。
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得10分。
当时，，即，函数在上是减函数，解得． …11分。
综上可知，所求的取值范围为12分。
江西省赣州市十三县（市）2016届高三下学期期中联考（理）
21. （本小题满分12分）
已知函数 (r)．
1）当时，求函数的单调区间；
2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．
21. 解：（1）当时，则1分。
令，得或；令，得，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。 …4分。
2）由题意，i）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为。……6分。
ii）当时，令，有，当时，函数在上单调递增，显然符合题意。……7分。
当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是9分
当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，代入化简得，①
令，因为恒成立，故恒有，所以时，①式恒成立，
综上，实数的取值范围是12分。
益阳市2016届高三4月调研考试。
21．（本小题满分12分）
已知函数。ⅰ）若曲线在点（4，f ( 4 )）处的切线的斜率小于0，求的单调区间；
ⅱ）对任意的，，恒有，求k的取值范围。
21．解：(ⅰ
若曲线在点（4，f(4)）处的切线的斜率小于0，则．
则由得03a；由得1∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（3a, ）单调递减区间为(1,3a)． 4分。
ⅱ)∵对任意的，,由(ⅰ)知f(x)在[1,3]上为减函数。
不妨设1≤x1f(x2)，，原不等式可化为：，即，对任意的，1≤x1令，∴对任意的，1≤x1∴在闭区间[1，3]上为增函数，对任意的恒成立(等号成立的x值不连续）．
而，化简得，即，其中． ，只需，即对任意恒成立9分。
令，则， 恒成立，在闭区间[1,3]上为减函数，则．
由，解得12分。
吉林市普通中学2015-2016学年度高中毕业班第三次调研测试。
21．（本小题满分12分）
设，曲线在点处的切线与直线。
垂直．ⅰ）求的值；
ⅱ）若恒成立，求的取值范围；
ⅲ）求证：．
21．（ⅰ解：因为，由题设。
所以，所以2分。
ⅱ），恒成立，即……3分。
设，即。而4分。
若，，，这与题设矛盾；
若，方程根的判别式。
当，即时，所以，即不等式成立。
当时，方程其根，；当时，，单调递增，则，与题设矛盾。
综上7分。ⅲ）由（ⅱ）知，当时，时，成立。
不妨令所以9分。
即。累加得：，即12分。
衡阳县一中2016届高三下学期3月月考试卷。
21．已知函数，其中，1）若是f(x)的极值点，求a;
2）若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；
3）设，若对于任意的x1∈(2，＋∞都存在x2∈(1，＋∞使得，求a的取值范围．
21．【解析】（1）
由题意得，，解得a=1经检验符合题意。
2）函数的定义域为 ，当时， ，令得或， 当 ，即时，在上递增，在上的最小值为，符合题意；
当 ，即时， 在上递减，在上递增，在上的最小值为 ，不合题意；
当 ，即时， 在上递减， 在上的最小值为 ，不合题意，综上，的取值范围是 ；
由题意知，的值域是的值域的子集。
设集合a＝，集合b＝，则 ab，令，则或。
当x变化时，,的变化情况如下表：
又。当x∈时，；当x∈时，.
下面分三种情况讨论：
当》 2，即时，由可知，0∈a，而0b，所以a不是b的子集．
当，即时，有g(2)≤0，g(x)在(2，＋∞上单调递减，故a＝(－g(2))(0)；又，∴(0)b，故ab，符合题意；
当，即时，有g(1)<0，且g(x)在(1，＋∞上单调递减，故b＝，a＝(－g (2))，所以a不是b的子集．
综上，a的取值范围是。
考点：函数的极值点的概念；导数在函数求最值中的应用；分类讨论思想的应用。
江西省重点中学协作体2016届高三第一次联考。
21．已知函数，.(e为自然对数的底数）
ⅰ）若，求的最小值；
ⅱ)若函数有两个不同的零点，，记，对任意，，试比较与的大小，并证明你的结论。
21．解：（1）当时，，则，由，得，由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为 ……5分。
2）……6分。
下面证明：依题有：，，两式相减得：
整理得。则，于是，……8分。
而。令，则设，……10分。
则， 在上单调递增，则。
于是有，即，且，∴，即．又，所以恒成立。……12分。
法二：要证，令（），则，令，则，
在上单调递减，而，∴
2023年安徽省“江南十校”高三联考。
(21)(本小题满分12分)
已知函数。ⅰ）当时，讨论的单调性；
ⅱ）设函数，讨论的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）.
21) 【解析】（ⅰ当时，
易知在上单调递增，且2分。
因此，当时，；当时，
故在单调递减，在单调递增5分。
ⅱ）由条件可得，
i）当时，，无零点。
ii）当时，，在上单调递增。
若，即时，，在上有一个零点。
若，即时，，有一个零点。
若，即时，，在上有一个零点 ……8分。
iii）当时，令，得；令，得。
所以在单调递减，在单调递增，若，即时，，无零点。
若，即时，，有一个零点。
若，即时，，，在有一个零点10分。
设，则，设，则，当时，，所以在单调递增，，所以在单调递增，，即时，，故。
设，则，所以在单调递减，即时，
因为时，，所以，又，在上有一个零点，故有两个零点。
综上，当时，在和上各有一个零点，共有两个零点；当时，有一个零点；当时，无零点；当时，在上有一个零点；当时，有一个零点；当时，在上有一个零点12分。
江西省红色七校2016届高三第二次联考。
21、已知函数，．
1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值；
3)当时，若与的图象有两个交点，试比较与的大小．（取为，取为，取为）
21. （1）,则，……1分。
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