一、 山东省高考文科数学解析几何考点分布:
1.专题概述:纵观近年来高考试题,可以发现高考对本专题的命题一般是以1~2道选择题(或填空题)和1道解答题的形式出现,分值18~23分。
试题对直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质的考查多为基础题,难度为中档或中档以下,多以选择、填空题的形式出现;对直线与抛物线、椭圆的位置关系、存在性问题、定点、定值问题等的考查多为综合题,常作为压轴题出现,难度较大,需要认真仔细分析作答。
2.解答题概述:
2023年文科:
11)、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点m,若在点m处的切线平行于的一条渐近线,则=
a) (b) (c) (d)
(13)、过点(3,1)作圆的弦,其中最短的弦长为。
(22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆c的中心在原点o,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为。(i)求椭圆c的方程; (ii)a,b为椭圆c上满足的面积为的任意两点,e为线段ab的中点,射线oe交椭圆c与点p,设,求实数的值。
2023年文科:
9)圆与圆的位置关系为。
(a)内切 (b)相交 (c)外切 (d)相离。
b.解:两圆的圆心分别为,,半径分别为,两圆的圆心距离为,则,所以两圆相交,选b.
11)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为。
(a) (b) (c) (d)
d. 解:抛物线的焦点,双曲线的渐近线为,不妨取,即,焦点到渐近线的距离为,即,所以双曲线的离心率为,所以,所以,所以抛物线方程为,选d.
21) (本小题满分13分)如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形abcd的面积为8.(ⅰ求椭圆m的标准方程;(ⅱ设直线与椭圆m有两个不同的交点与矩形abcd有两个不同的交点。求的最大值及取得最大值时m的值。
解:(i)……矩形abcd面积为8,即……②
由①②解得:,∴椭圆m的标准方程是。
ii),设,则,由得。
当过点时,,当过点时,.
当时,有,其中,由此知当,即时,取得最大值。
由对称性,可知若,则当时,取得最大值。
当时, ,由此知,当时,取得最大值。
综上可知,当和0时,取得最大值。
2023年文科。
9.设m(,)为抛物线c:上一点,f为抛物线c的焦点,以f为圆心、为半径的圆和抛物线c的准线相交,则的取值范围是。
(a)(0,2) (b)[0,2] (c)(2,+∞d)[2,+∞
c.解:设圆的半径为r,因为f(0,2)是圆心, 抛物线c的准线方程为,由圆与准线相切知415.已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为。
22.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆。如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点。
(ⅰ求的最小值;(ⅱ若,(i)求证:直线过定点;
ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由。
解析】(ⅰ由题意:设直线,由消y得:,设a、b,ab的中点e,则由韦达定理得: =即,所以中点e的坐标为。
e,因为o、e、d三点在同一直线上,所以,即,解得。
所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
ⅱ)(i)证明:由题意知n>0,因为直线od的方程为,所以由得交点g的纵坐标为,又因为,且,所以,又由(ⅰ)知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
ii)假设点,关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又**段ab的中垂线上,由(i)知点g(,所以点b,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为,又因为,所以解得或6,又因为,所以舍去,即,此时k=1,m=1,e,ab的中垂线为2x+2y+1=0,圆心坐标为,g,圆半径为,圆的方程为。综上所述, 点,关于轴对称,此时的外接圆的方程为。
2023年文科:
9)已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为。
a) (bcd)
b.解:设、则有,,两式相减得:
又因为直线的斜率为1,所以,所以有。
又线段的中点的纵坐标为2,即,所以,所以抛物线的准线方程为。
16) 已知圆c过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:被该圆所截得。
的弦长为,则圆c的标准方程为。
解:由题意,设圆心坐标为,则由直线l:被该圆所截得的弦长为得,,解得或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以,故圆心坐标为(3,0),又已知圆c过点(1,0),所以所求圆的半径为2,故圆c的标准方程为。
22)(本小题满分14分)
如图,已知椭圆过点,离心率为,左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为、
和、,为坐标原点。(i)求椭圆的标准方程; (ii)设直线、的斜线分别为、.
(i)证明ii)问直线上是否存在点,使得直线、、、的斜率、、、满足?若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由。
ⅰ)解:因为椭圆过点(1,),e=, 所以,.又a2=b2+c2,所以,故所求椭圆方程为。
ⅱ)(i)设点p(,)则=, 因为点不在轴上,所以,又=2,所以=,因此结论成立。
2023年文科:
10. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点f,且和轴交于点a,若△oaf(o为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为。
a. b. c. d.
b.解: 抛物线的焦点f坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为a,所以△oaf的面积为,解得。所以抛物线方程为,故选b.
22. (本小题满分14分)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为e.(1)求轨迹e的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知,证明:
存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹e恒有两个交点a,b,且(o为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆c:(1解:(1)因为,所以, 即。
当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆;
当且时,方程表示的是椭圆; 时,方程表示的是双曲线。
2).当时, 轨迹e的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹e恒有两个交点a,b, 则使△=,即,即, 且。
要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立。
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,故圆的半径为, 所求的圆为。
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足。
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且。
3)当时,轨迹e的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆c:(1因为与轨迹e只有一个公共点b1,由(2)知得,即有唯一解,则△=,即由①②得, 此时a,b重合为b1(x1,y1)点,由中,所以,
b1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形oa1b1中,因为当且仅当时取等号,所以,即。
当时|a1b1|取得最大值,最大值为1.
2023年文科:
11.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴相切,则该圆的标准方程是( )
a. b.
cd. 11.b.解:设圆心为由已知得选b.
13.已知圆.以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为。
解:圆,由得圆与坐标轴的交点分别为则所以双曲线的标准方程为。
22.(本小题满分14分)已知曲线所围成的封闭图形的面积为,曲线的内切圆半径为.记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(ⅰ求椭圆的标准方程;
ⅱ)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平分线.是上异于椭圆中心的点.
1)若(为坐标原点),当点在椭圆上运动时,求点的轨迹方程;(2)若是与椭圆的交点,求的面积的最小值.
22.解:(ⅰ由题意得又,解得,.
因此所求椭圆的标准方程为.
ⅱ)(1)假设所在的直线斜率存在且不为零,设所在直线方程为,.
解方程组得,所以.设,由题意知,所以,即,因为是的垂直平分线,所以直线的方程为,即,因此,又,所以,故.又当或不存在时,上式仍然成立.
综上所述,的轨迹方程为.
2)当存在且时,由(1)得,由解得,,所以,,.
解法一:由于。
当且仅当时等号成立,即时等号成立,此时面积的最小值是.
当,.当不存在时,.
综上所述,的面积的最小值为.
解法二:因为,又,,当且仅当时等号成立,即时等号成立,此时面积的最小值是.
当,.当不存在时,.
综上所述,的面积的最小值为.
2023年文科:
9.设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为( )
a. b. c. d.
b.解: 过a 作轴于d,令,则,16.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
解:曲线化为,其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上,其到直线的距离为,圆心坐标为标准方程为。
22.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的图过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
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