2024年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）文科数学试题答案与解析。
1. 解析易知，所以中元素的个数为3，故选b.
2. 解析由三角函数定义知。故选d.
3. 解析由得或；由得，所以不等式组的解集为，故选c.
4. 解析如图，取的中点，连接、.因为、分别是、的中点，所以，故或其补角是异面直线、所成的角。
设正四面体的棱长为，易知，.在中，由余弦定理可得。故选b.
5. 解析由得，即，又由可知，所以原函数的反函数为。故选d.
6. 解析 ，故选b.
7. 解析由分步计数原理知不同的选法有种，故选c.
8. 解析由等比数列的性质得，即，解得。故选c.
9. 解析由椭圆的定义可知的周长为，所以，故，又由得，所以，则的方程为，故选a.
10. 解析易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为，故选a.
11. 解析由已知得，所以，故，从而双曲线的渐进线方程为，由焦点到渐进线的距离为得，解得，故，故选c.
12. 解析由是偶函数可得，又由是奇函数得，所以，，故是以4为周期的周期函数，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，故，故选d.
13. 解析通项，令，得，所以的系数为。
14. 解析 ，因为，所以当时，.
15.解析作出可行域（如图所示的阴影部分），当经过点时，目标函数取得最大值。由得，所以。
16. 解析设与的交点为，、与圆相切的切点分别为，，结合图形可知直线与的夹角，在中，，，所以，于是，故。
17. 解析 （1）证明：由得，，即。又。所以是首项为1，公差为2的等差数列。
2）由（1）得，即。于是，所以，即。又，所以的通项公式为。
评注本题着重考查等差数列的定义、前项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识，同时考查运算变形的能力。
18. 解析由题设和正弦定理得。故，因为，所以，.
所以，即。评注本题着重考查正弦定理及运用三角公式进行三角恒等变换等知识，要求由较强的运算变形能力。
19. 解析解法一：（1）因为平面，平面，故平面平面。又，所以平面。连接。因为侧面为菱形，故。由三垂线定理得。
）平面，平面，故平面平面。作，为垂足，则平面。又直线平面，因而为直线与平面的距离，.
因为为的平分线，故。作，为垂足，连接。由三垂线定理得，故为二面角的平面角。
由得为中点，，.所以二面角的大小为。
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。由题设知与轴平形，轴在平面内。
）设，由题设有，，则，，，
由得，即。于是，所以。
）设平面的法向量为，则，，即，.因，，故，且。令，则，点到平面的距离为。
又依题设，到平面的距离为，所以。代入①解得（舍去）或。于是。设平面的法向量为，则，，即，，，且。令，则，，.又为平面的法向量，故。所以二面角的大小为。
评注本题考查了线面垂直的性质与判定，二面角知识。利用传统法解决二面角问题的关键在于找出二面角的平面角。同时，考查了空间向量的应用意识及基本运算能力。
20. 解析记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，，表示事件：
甲需使用设备，表示事件：定需使用设备，表示事件：同一工作日至少3人需使用设备。
表示事件：同一工作日4人需使用设备。 表示事件：
同一工作日需使用设备的人数大于。
1），，所以。
2）由（1）知，若，则。
又，.若，则。所以的最小值时为3.
评注本题主要考查运用概率的性质计算概率，着重考查知识的理解运算能力、运算能力及分类讨论思想。
21. 解析 （1），的判别式。
）若，则，且当且仅当，.故此时在上是增函数。
）由于，故当时，有两个根：，.
若，则当或时，，故在，上是增函数；
当时，，故在上是减函数；
若，则当或时，，故在，上是减函数；
当时，，故在上是增函数。
2）当，时，，故当时，在区间上是增函数。
当时，在区间上是增函数当且仅当且，解得。
综上，的取值范围是。
评注本题主要考查函数与导数的综合应用，着重考查运用知识分析问题、**问题、解决问题的能力及分类讨论的思想方法。
22. 解析 （）设，代入得。
所以，.由题设得，解得（舍去）或。所以的方程为。
（）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为。代入得。设，，则，.故的中点为，.
又的斜率为，所以的方程为。将上式代入，并整理得。设，，则，.
故的中点为，.由于垂直平分，故，，，四点在同一圆上等价于，从而，即。化简得，解得或。所求直线的方程为或。
评注本题主要考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线的位置关系等知识，着重考查概念的理解运用能力、运算变形能力及分类讨论思想。
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