2023年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）答案解析。
第ⅰ卷。一、选择题。
1.【答案】a
解析】提示】直接根据复数的乘法的运算法则，以及可求出所求。
考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】d
解析】a．由，，可知，但是，则，故a错误；
b．，故b错误；
c．，故c错误；
d．，故d正确。
提示】由，，则可知，，但是，则，，，从而可判断。
考点】集合的包含关系判断及应用。
3.【答案】d
解析】因为向量，所以，解得。
故选d。提示】直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可。
考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，数量积判断两个平面向量的垂直关系。
4.【答案】d
解析】a．球的三视图均为圆，且大小均等；
b．三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；
c．正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；
d．圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形。
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱。故选d。
提示】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等。
考点】由三视图还原实物图。
5.【答案】c
解析】∵双曲线的右焦点为，故选c。
提示】根据双曲线的右焦点为，可得，进而可求双曲线的离心率。
考点】双曲线的简单性质。
6.【答案】a
解析】，满足判断框，第1次循环，第2次判断后循环，第3次判断并循环，，第3次判断退出循环，输出。
故选：a。提示】通过循环，计算s，k的值，当时退出循环，输出结果即可。
考点】循环结构。
7.【答案】b
解析】∵圆心到直线的距离。
由直线与圆相交的性质可知，
即。故选b。
提示】由直线与圆相交的性质可知，，要求ab，只要先求圆心到直线的距离d，即可求解。
考点】直线与圆相交的性质。
8.【答案】c
解析】解：由题意，令，
得，是函数的图象对称轴方程。
令，得。故选c。
提示】将内层函数看作整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数的对称轴方程，对照选项即可得结果。
考点】正弦函数的对称性。
9.【答案】b
解析】解：∵π是无理数。
则。故选b．
提示】根据π是无理数可求出的值，然后根据分段函数的解析式可求出的值。
考点】函数的值。
10.【答案】b
解析】解：由题意，，可求得交点坐标为。
要使直线上存在点满足约束条件，如图所示，可得。
实数m的最大值为1.
故选b。提示】根据，确定交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件，则，由此可得结论。
考点】简单线性规划的应用。
11.【答案】a
解析】解：∵，又∵是以为周期的周期函数，故选a。
提示】由于，，则四项结合的和为定值，可求。
考点】数列的求和。
12.【答案】c
解析】解：求导函数可得，，且。，设，，，
故选：c。提示】根据，，且，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论。
考点】利用导数研究函数的单调性。
第ⅱ卷。二、填空题。
13.【答案】
解析】解：∵，由正弦定理可得，可得。
故答案为：
提示】结合已知两角一对边，要求b的对边，可利用正弦定理，进行求解。
考点】正弦定理。
14.【答案】12
解析】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，这支田径队有女运动员人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，每个个体被抽到的概率是。
田径队有女运动员42人，女运动员要抽取人，故答案为：12
提示】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果。
考点】分层抽样方法。
15.【答案】
解析】解：因为不等式在r上恒成立。，解得。
故答案为：。
提示】将关于x的不等式在r上恒成立，转化成，从而得到关于a的不等式，求得a的范围。
考点】一元二次不等式的应用。
16.【答案】16
解析】解：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：a→e→f→g→d，从g分叉，g→c→b
总费用为。故答案为：16
提示】确定铺设道路的总费用最小时的线路为：a→e→f→g→d，从g分叉，g→c→b，即可求得铺设道路的最小总费用。
考点】统筹方法在实际中的应用。
三、解答题。
17.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q。
由题得：；；
解得：，。所以：，。
2）解：分别从和的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：，。
两项的值相等的有，。
这两项的值相等的概率：。
提示】（1）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；
2）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论。
考点】等差数列与等比数列的综合，列举法计算基本事件数及事件发生的概率。
18.【答案】（1）解：， 回归直线方程；
2）解：设工厂获得的利润为l元，则。
该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大。
提示】（1）计算平均数，利用，，即可求得回归直线方程；
2）设工厂获得的利润为l元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大。
考点】回归分析的初步应用，线性回归方程。
19.【答案】（1）解：由长方体abcd﹣知，点a到平面的距离等于，又，。
2）证明：将侧面绕逆时针转90°展开，与侧面共面，当，m，共线时，取得最小值。
由，，得m为的中点。连接，在中，，，得，即，又，，又，，，同理可证，，又，提示】（1）由题意可知，a到平面的距离等于，易求，从而可求；
2）将侧面绕逆时针转90°展开，与侧面共面，当，m，共线时，取得最小值。易证，从而，同理可证，，问题得到解决。
考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积。
20.【答案】（1）选择（2），计算如下：
故这个常数为。
2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式。
证明：（方法一）
方法二）提示】（1）选择（2），由，可得这个常数的值。
2）推广，得到三角恒等式。
证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果。
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为：
即，化简可得结果。
考点】分析法和综合法，归纳推理。
21.【答案】（1）解：依题意，设，则，
在上，∴，抛物线e的方程为；
2）解：由（1）知，，
设，则即，由得，∴，取，此时，，以pq为直径的圆为，交y轴于点或，取，此时，，以pq为直径的圆为，交y轴于点或。
故若满足条件的点m存在，只能是，证明如下：，
故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点。
提示】（1）依题意，，，从而可得，利用b在上，可求抛物线e的方程；
2）由（1）知，，，设，可得，与联立，求得取，，猜想满足条件的点m存在，再进行证明即可。
考点】直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程。
22.【答案】（1）解：由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；
当时，，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；
当时，，，从而在单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为，解得，综上所述，得。
2）函数在内有且仅有两个零点。证明如下：
由（1）知，，从而有，又函数在上图象是连续不断的，所以函数在内至少存在一个零点，又由（1）知在单调递增，故函数在内仅有一个零点。
当时，令，由，，且在上的图象是连续不断的，故存在，使得。
由，知时，有，从而在上单调递减。
当，，即，从而在内单调递增。
故当时，，从而在内无零点；
当时，有，即，从而在内单调递减。
又，且在上的图象是连续不断的，从而在内有且仅有一个零点。
综上所述，函数在内有且仅有两个零点。
提示】（1）由题意，可借助导数研究函数，在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；
2）借助导数研究函数在内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数。
考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点，利用导数研究函数的极值。
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