2023年全国各地高考试题汇编(理科)
1.（本小题满分12分）(2013湖北。理)
已知等比数列满足：
）求数列的通项公式；
）是否存在正整数使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。
2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，其中为实数．
1）若，且成等比数列，证明：（）
2）若是等差数列，证明：．
3.(本题满分14分)(2013浙江。理)
在公差为d的等差数列中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列。
ⅰ）求d，an；
ⅱ) 若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…an| .
4. (本小题满分12分) (2013陕西。理)
设是公比为的等比数列。
(ⅰ)推导的前项和公式；
(ⅱ)设， 证明数列不是等比数列。
6.（本小题满分13分）(2013安徽。理)
设函数，证明：
ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；
ⅱ）对任意，由（ⅰ）中构成的数列满足。
8.（本小题满分14分）(2013广东。理)
设数列的前项和为，已知，.
1）求的值。
2）求数列的通项公式。
3)证明：对一切正整数，有。
11．（本小题满分12分）(2013江西。理)
正项数列的前项和满足：
1） 求数列的通项公式；
2） 令，数列的前项和为．证明：对于任意，都有。
23. (本小题满分14分) (2013天津。理)
已知首项为的等比数列不是递减数列， 其前项和为， 且成等差数列。
ⅰ) 求数列的通项公式；
ⅱ) 设， 求数列的最大项的值与最小项的值。
13.（本小题共13分）(2013北京。理)
已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项…的最小值记为，．
ⅰ）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值；
ⅱ）设是非负整数，证明：…的充分必要条件为是公差为的等差数列；
ⅲ）证明：若，…，则的项只能是或者，且有无穷多项为．
15. (本小题满分12分) (2013全国卷。理)
设是公比为的等比数列。
(ⅰ)推导的前项和公式；
(ⅱ)设， 证明数列不是等比数列。
20.（本小题满分12分）(2013四川。理)
在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项，公差及前项和。
1.（本小题满分12分）(2013湖北。理)
解(1)或。
2)若，则，故是首项为，公比为的等比数列。
从而。若，则，故是首项为，公比为的等比数列。
从而故。综上，对任何正整数，总有。
故不存在正整数，使得成立。
2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)
证：（1）若，则，，．
当成等比数列，即：，得：，又，故．
由此：，，故：（）
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故．
经检验，当时是等差数列．
3.(本题满分14分)(2013浙江。理)
解。本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
i）由题意得 a1·5a3＝(2a2+2)2
即d2－3d－4=0
故d=－1或d=4
所以an＝－n+11,n∈n*或an＝4n+6,n∈n*
ii）设数列的前n项和为sn.因为d<0，由(i)得d=－1, an＝－n+11。则。
当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…an|＝sn＝
当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…an|＝－sn +2s11＝+110
综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…an|＝
4. (本小题满分12分) (2013陕西。理)
解析】(ⅰ分两种情况讨论。
上面两式错位相减：
综上， ⅱ) 用反证法)
设是公比的等比数列， 假设数列是等比数列。则。
当使得成立，则不是等比数列。
当成立，则。
这与题目条件q≠1矛盾。
综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当时， 数列不是等比数列。（证毕）
6.（本小题满分13分）(2013安徽。理)
证明(1) 对每个，当时， ,故在上单调递增。
由于，当时，故。
又。所以存在唯一的，满足。
2)当时， ,故。
由在上单调递增知， ,故为单调递减数列。
从而对任意，.
对任意，由于。
-②并移项，利用得。
因此对任意的，都有。
8.（本小题满分14分）(2013广东。理)
解(ⅰ)依题意，又，所以；
(ⅱ)当时，两式相减得。
整理得，即，又。
故数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以。
(ⅲ)当时，；当时，；
当时，此时。
综上，对一切正整数，有 .
11．（本小题满分12分）(2013江西。理)
解(1)由。
由于是正项数列，所以。
于是时， 综上数列的通项公式为。
2)证明：由于。
13.（本小题共13分）(2013北京。理)
解(1) 2)(充分性)因为是公差为的等差数列，且，所以。
因此。必要性)因为，所以。
又因为。于是。
即是公差为的等差数列；
3)因为所以。
故对任意。假设中存在大于2的项。
设为满足的最小正整数。
则，并且对任意。
又因为，所以，且，于是。
故与矛盾。所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1,因为对任意，所以。
故，因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列的项为1.
15. (本小题满分12分) (2013全国卷。理)
解(1)设的前项和为，当时，
当时，……-②得。
2)假设是等比数列，则对任意的，这与已知矛盾。所以假设不成立。故不是等比数列。
20.（本小题满分12分）(2013四川。理)
解：设等差数列的公差为，前项和为，由已知得。
解得或。所以数列的通项公式为或。
所以数列的前项和或。
23. (本小题满分14分) (2013天津。理)
解(1)设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以。
又不是递减数列，且。
2)由(1)得。
当为奇数时，随的增大而减小，所以。
故。当为偶数时，随的增大而减大，所以，故。
所以数列的最大项的值为；最小项的值为。
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