《数学教育学》复习资料。
一、举例说明由“旧知”引出“新知”是我国数学教学的主要方法
我国的数学课堂教学中，绝大多数的新知识是由旧知识引入的，这基本符合人的认识规律，也与现代认知主义理论、建构主义思想相一致。课堂教学的开始是多以复习提问的形式，教师设计一系列的问题，在学生对与新知识相关的已知内容的“温故”之中，让新知识的内容意义逐渐露出端倪，自然而然地“流淌”出来。
由“旧知”引出“新知”可能导致两种可能的教学形态。一种形态是：使学生由旧知中产生困惑或新的情境——形成和激发认识新知、发现新知、获取新知的欲望和行动——经历知识发生、发展的过程，这无疑是应该追求的理想的教学形态。
另一种形态是：淡化从旧知识到新知识的发生发展过程，甚至会由旧知识直接把新知识告诉学生，只要所谓“会用”就行了。这很容易造成学生被动接受，成为事实上的被灌输知识的容器，这当然是应该竭力避免的教学形态。
例1．将对数概念作为新知的教学，由已知的有关幂指数的知识引入：
这个求“对数”的新运算，用数学符号表示为 x = log 2 3.
一般地有 ax= n (n >0, a>0且a≠1) x = log a n.
二、数学中的弱抽象方法。
在数学的思想活动中，有一类方法是在同类的事物中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其它的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。其本质在于“舍弃”。
例如：自然数“3”的概念就是弱抽象产物。
在“三只鸡”,“三个苹果”,“三个球”等这类事物中，“个数3”是它们的共同本质属性，于是“3”被抽象出来，而“鸡”、“苹果”、“球”都是非本质属性而被舍弃。
又如： “基数”概念，也是在“偶数”、“整数”、“有理数”、“实数”这些数的集合中，按一一对应原则，抽象出无穷数集的“基数”的概念。
三、数学中的强抽象方法。
数学思想活动中，有一类方法是把新的特征或属性添加到已有的数学结构中，从而形成新的数学概念，而不是从同类事物的众多属性中将共同的本质属性抽取出来。这种通过在原有数学结构中增添新的性质来获得新数学概念的抽象过程，称之为“强抽象”。其本质是“添加”。
例如：1.由一般三角形概念，引入“两条边相等”，或“一个角是直角”的特性，就分别得到比较特殊的三角形概念： 等腰三角形和直角三角形；
2.在函数概念中，引入“连续性”就形成了“连续函数”的新概念，进而有“可微函数”的概念；
3.点、线、面这些几何元素同各种变换相结合，即在点、线、面这些几何元素中分别引进不同的变换关系，就产生了合同、相似、仿射、射影、同胚等几何概念。
这些例子表明，强抽象方法通过引入新的特征强化原型来完成抽象，是一种概念强化式的抽象，这样获得的新概念或理论，实际上是原型的特例。
强抽象的特点是，强抽象方法获得的数学对象，一般在概念的外延上缩小了，但却使内涵或结构更加丰富和具体。
强抽象方法的本质在于，强抽象是将不同数学概念或结构有机的结合起来。
四、关于数学活动的探索性特征。
数学的探索性特征就是指，在数学活动中要运用一般科学的探索方法：观察、实验、想象、直觉、猜测、验证、反驳。科学探索方法是科学发现发明的方法，因此数学活动的探索性特征体现了数学创造性活动的特点，意义更大、更重要。
数学活动有三类：
1.数学研究活动，这是数学发现发明的过程；
2.数学认识活动，即数学学习活动，这是一个再创造的过程；
3.数学实践活动，即用数学解决问题的创造性过程。
这些活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想的阶段，这个阶段就是数学探索性活动阶段。数学探索性表明了探索活动阶段的不确定性。如果说这一阶段有什么规律的话，那也是建立在经验基础上的，没有确定的形式和结构。
正是这种不确定性，体现了数学活动的创造性。
1)数学活动中的探索性。
数学发现发明是典型的探索性活动。阿基米德的“启发式论证”；牛顿发明微积分；康托发现无穷集合的“基数”，即实数连续统等等。这些数学发现发明的过程都曾经历“实验、观察、猜测”的探索活动过程，是大量探索性活动的结果，是大量运用实验、观察、猜测、想象、直觉、验证、反驳这些探索性方法的结果。
2)数学学习中的探索性。
数学的探索活动并不限于数学的研究领域，在数学的学习活动中也广泛地存在着数学探索性活动。
幼儿园孩子学数字用手指，小学生学数学用“学具盒”，都是数学学习中的探索性活动，他们通过实验、观察、探索数学知识。
中学生学习三角形的三边关系时，用各种长短不一的小棒做拼组三角形的实验和内角和实验，教师让他们做出形状各异的各种三角形。再把每个三角形三个角剪下来，拼起来，量一量，最后让他们提出三角形内角和的猜想： 三角形的内角和等于180。
在证明这个猜想时，让学生结合刚才的实验，寻找证明的思路，实际上是如何添置辅助线将三角形的三个角移动一起去。于是学生经过多次实验，提出各自不同的办法，辅助线如何添也是合理猜想的结果。
3)数学的解题活动充满了探索性。
数学解题也是一种探索性活动。
波利亚认为，数学解题中进行论证推理，仅仅是一个方面。实际的情形是，在得到一个数学问题的结论之前，你得先探索这个结论的内容，在做出完整而详细的证明之前，你先得探索证明或解题的思路，要经过一次次错误的尝试，经受一次次失败的考验。
在数学中，除了论证逻辑外，所有的知识都是探索性活动的结果，都是由一些猜想构成的，是数学创造的产物，其创造过程与任何其它创造过程是一样的，必然要经历观察、实验、猜想的探索阶段。
解题的大部分工作属于探索性活动，探索性推理，要在实验中不断地特殊化或一般化，在观察中不断地进行分析综合，通过归纳类比提出猜想，通过验证和反驳对猜想作出**和修正。不过这样的探索即使是做了大量的工作，也只是可能性的探索。这种“可能性”有两层含义：
一是这种探索可能会得到某种结果，可能是问题的结论、解题的思路或者一个好的“念头”;二是所得的结果可能是正确的，也可能是不正确的。
这表明，探索性推理的活动，是不确定的，探索性推理并非严格的和最终的，仅仅是临时的和似乎是真的，但它是得到一个最终严格结论的先决条件，必由之路。
所谓数学的探索性活动，就是对数学问题，人们根据自己的经验和知识，运用实验、观察、想象、直觉、猜测、验证和反驳的方法，寻求一种可能性结论的活动。
4)数学探索性活动的基本特点。
数学探索性活动有如下基本特点：
1)不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法；
2)可以获得发现发明的内容；
3)可以寻找解决问题的思路；
4)可以**可能性结论的正确程度，对其作出合理的修正；
5)其结果只具有“可能性”，必须通过严格的论证才是可靠的，最终的结论。
数学探索性活动的意义在于，它是数学发现发明的方法，是每个人将来进行创造性工作必须应用的方法。
但是在学校通常的课程中，很少提供学生学习探索性活动的机会，在数学学习和教学中，自始至终进行“因为—所以”的逻辑论证的严格训练，其实探索性推理与逻辑推理对数学同等重要，而且从教育的角度，探索性推理更重要，它为学生提供了尝试发明的机会，为学生未来创造性的工作做好了准备。
五、关于数学的广泛应用性特征。
1.数学提供了特有的思维训练。
数学提供了特有的思维训练。国际数学教育委员会的一份文件中指出：“许多世纪以来，数学被看作是训练推理能力”的最佳学科，为什么在中小学有这么多数学课呢？
无论过去还是现在，对这个问题最普遍的回答是：“它教你思考”。
美国国家研究委员会在《人人关心美国数学教育的本来》的一份文件中也指出：“数学提供了有特色的思考方式，应用这些数学的思考方式的经验构成了数学能力——在当今这个技术时代日益重要的一种智力。”
数学所提供的特有的思维训练有：
数学化——建立数学模型。
抽象化——为人类学习抽象思维提供了一条最为有效的途径。
最优化——通过“如果…那么…” 数学式的提问，来寻求最有效、最经济的最优解。
符号化——用一种紧凑简约的形式把自然语言推广到抽象概念的符号表示。
随机化——从各种不完全和不一致的原始资料进行估计和猜测。
逻辑分析——寻求前提中所蕴含着的东西以及寻求能解释所观测到的现象的基本原理。
数学是这样一个领域——对人类的思维训练价值， 是数学“实用性”的最大体现。
2．数学提供了科学的表达语言。
早在400年前，伽里略就曾指出，世界的奥秘是本巨大的书，而这部书是用数学语言写成的。数学语言是普通语言的精确化，所以爱因斯坦对数学语言更是推崇备至，他说：“理论物理学家在描述各种关系时，要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这种标准只有用数学语言才能做到。
”数学语言是各种科学的通用语言。不仅物理学、化学、生物学等自然科学要运用数学语言，而且社会科学和人文学科也加入了运用数学语言的行列。这种各门科学对数学语言的运用，并不是指把数学作为研究的工具，而更是把数学语言作为表述自身科学理论的语言。
数学语言是世界各国家各民族的通用语言。数学语言比任何语言都更具有世界性，世界各国都使用各自的语言，同一个国家内的不同民族甚至也用不同的语言，但是数学语言对于无论何种民族都是公共的，看到数学符号，大家都知道是什么意思，而无需再翻译。数学是国家与国家之间、民族与民族之间交流思想(不限于科学技术)的共同语言。
3．数学提供了抽象思维的模式。
从解决各种问题的角度，数学为人类提供了抽象思维的工具。具体地说，就是为解决实际的和科学理论的非数学问题提供了抽象思维的模式。这类抽象思维的模式包括：
为非数学问题转化为数学问题提供了具体的数学模型；为构造数学模型提供了数学模型的抽象方法；数学的思维方法提供了一种有效的思考方式。
4．数学提供了科学理论的示范作用。
数学理论的示范作用主要表现为各门科学都把逻辑化、系统化甚至公理化作为本学科发展的目标，例如牛顿、麦克斯韦尔、狄拉克、爱因斯坦这些伟大的物理学家都用逻辑化、公理化方法建构了自己的理论，此外在生物学、经济学、心理学等学科都在利用数学所提供的示范建立自己的新理论。数学所提供的理论的示范作用，导致了“科学数学化”的趋势。
5．数学提供了不可思议的应用。
数学应用的广泛，从应用于其它科学理论的角度，仅仅是一个方面，更大的是数学在各种实践领域的应用达到不可思议的地步。
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