崇明县2024年高考模拟考试试卷。
高三数学（理科）
班级姓名。考生注意：
1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；
2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；
3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上）
1、方程的解 ．2
2、函数的最小正周期 ．1
3、已知是方程的复数解，则．
4、若直线过点，且方向向量为，则直线的方程为 （用直线方程的一般式表示）
5、二项式的展开式中常数项等于 15 ．（用数字作答）
6、执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值等于
7、函数的值域为 ．
8、已知等差数列的前项和为，若，则 ．36
9、已知直线的极坐标方程为，则极点到这条直线的距离等于。
10、若一个无穷等比数列的前项和为，且，则首项取值范围是。
11、圆柱形容器内部盛有高度为8的水，若放入三个相同的。
实心铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好。
淹没最上面的球，则球的半径等于 ．4
12、已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点恰好在抛物。
线的准线上，则。
13、如图：在三角形中，则。
14、设函数，若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。
二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分）
15、从总体中抽取的一个样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则总体方差的点估计值等于。
abcd、16、命题：“”命题q：“”则p是q的。
a、充分非必要条件b、必要非充分条件。
c、充要条件d、既非充分又非必要条件。
17、函数的一个零点所在的一个区间是。
abcd、18、一个少年足球爱好者报考某知名足球学校。面试过程是这样的：先由二位助理教练单独面试（假设相互独立），若能同时通过两位助理教练的面试，则予以录取；若均未通过两位助理教练面试，则不予取录；若恰好能通过一位助理教练的面试，则再由主教练进行终审（直接决定录取或不予录取）。
如果该少年足球爱好者通过两位助理教练面试的概率均为0.5，通过主教练终审的概率为0.3，那么该少年足球爱好者被这知名足球学校录取的概率为…（
a、0.55b、0.4c、0.25d、0.325
三、解答题（本大题共5小题，满分74分。解答下列各题并写出必要的过程，并将解题过程清楚地写在答题纸上）
19、本题满分12分（其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知向量，设函数。
1）若，求函数的单调区间；
2）已知锐角的三内角a、b、c所对的边是a、b、c，若有。
求c边的长度．
20、本题满分14分（其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，直线平面，四边形是正方形，且，点ｅ、f、g分别是线段、、的中点．
1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）；
2）**段上是否存在一点q，使，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
21、本题满分14分．（其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
某公司生产某种消防安全产品，年产量x台时，销售收入函数（单位：百元），其成本函数满足（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．
1）求利润函数；
2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？
3）在经济学中，对于函数，我们把函数称为函数的边际函数，记作．对于（1）求得的利润函数，求边际函数；并利用边际函数的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）
22、本题满分16分（其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
如图，已知椭圆，为椭圆上的一个动点，、分别为椭圆的左、右焦点，a、b分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当时，原点ｏ到直线的距离为．
1）求满足的关系式；
2）当点在椭圆上变化时，求证：的最大值为．
3）设圆，是圆。
上任意一点，过作圆的切线交椭。
圆于两点，当时，求的值．（用表示）
23、本题满分18分（其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
已知数列的前项和为，满足。数列。
1）求证：数列为等比数列；
2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
3）对于数列中值为整数的项，按照原数列中前后顺序排列得到新的数列，记，，求的表达式．
崇明县2024年高考模拟考试试卷解答。
高三数学（理科）
二、选择题。
15、a 16、a 17、c 18、b
三、解答题。
单调增区间是单调减区间是
2）因为所以。
所以。锐角三角形，所以。
另解 所以（同上。
20．[理]
1）以a为原点建立如图坐标系。则。因此。
所以。即异面直线与所成角的为。
2）假设存在点，使，设，则
因此。因为所以。
即 所以存在点，使。
21、（1）由题意， 所以。
所以或 百元。
边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大。
22、解（1）设。
因为，所以点坐标为。
所以方程。o到距离，整理得。
所以解得。2）设。
由余弦定理得
因为。所以。
当且仅当。由三角形内角及余弦单调性知有最大值。
3）设圆上任意一点，过点的切线交该椭圆于，则切线的法向量为，直线的方程为
联立方程组。
时，，所以，即：；
时，由。得。
所以。因为。
由得， 所以，从而。
由①、②知，。
另解：由（1），椭圆方程为。
设 当，切线方程，所以。
因为。所以。
当，切线方程。
消去得。因为。
所以。代入得。
所以。即：恒成立。
所以，为以2为首项，公比为3的等比数列。
时， 令，
所以，（）为递增数列。
从而。由①，②知，所以的最大值等于。
当时， 当时，
所以。所以。所以。
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