2012学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学试卷
一、填空题（本大题满分56分）
1. 双曲线的实轴长为。
2. （理）极坐标平面内一点的极坐标为，则点到极点的距离 .
3. 二项式的展开式中的第八项为。
4. 已知点在函数，的图像上，则的反函数 .
5. 若行列式的第三行、第三列元素的代数余子式等于，则行列式的值为。
6. 在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为。
7. 已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为。
8. （理）若直线（为参数）的方向向量与直线的法向量平行，则常数。
9.已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为和的矩形，则该圆柱的体积是。
10.已知数列是等差数列，，，则过点和点的直线的倾斜角是用反三角函数表示结果）
11.设抛物线上一点到该抛物线准线与直线的距离之和为，若取到最小值，则点的坐标为。
12. （理）设整数是从不等式的整数解的集合中随机抽取的一个元素，记随机变量，则的数学期望。
13. （理）已知函数若满足，（、互不相等），则的取值范围是。
14. 把正整数排列成如图1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图2的三角形数阵。 现将图2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则。
二、选择题（本大题满分20分）
15. 设实数、、满足，且，那么下列不等式中不一定成立的是。
a.； bcd..
16. 已知方程，其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是( ）
a. 该方程一定有一对共轭虚根； b. 该方程可能有两个正实根；
c. 该方程两根的实部之和等于-2； d. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1.
17. （理） 已知向量，，向量，则向量与的夹角为 (
abcd..
18. 已知函数的零点，且常数分别满足，，则 （
abcd..
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤。
19. （本题满分12分）
已知复数满足（为虚数单位），复数，试确定一个以为根的实系数一元二次方程。
20. （本题满分14分）
为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费。
”方案公布后，这则“累进加价”的算法却在**上引发了争议（可查询2023年12月14日的相关国内新闻）.请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？
21.（本题满分14分）
理）如图，平面，四边形是正方形，，点、、分别为线段、和的中点。
1）求异面直线与所成角的大小；
2）**段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由。
22.（本题满分16分）
理）已知函数。
1）试判断的奇偶性并给予证明；
2）求证：在区间单调递减；
3）右图给出的是与函数相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0.请说明你的理由。
23. （本题满分18分）
理）如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为。
1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值；
2）试**：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？
3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形。如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点。 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定。
【本小题将根据你所提出的猜想的质量和证明的完整性给予不同的评分】
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