2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷l
一。填空题（本大题满分56分）
1. 若集合，，则。
2. 设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数。
3. 在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则。
4. 在的展开式中，若第项的系数为，则。
5. 若圆的圆心到直线（）的距离为，则。
6. 函数的反函数。
7. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，若经过的直线与椭圆相交于、两点，则△的周长等于。
8. 数列中，若，（）则 .
9. 若函数，则不等式的解集为。
10．如图，正四棱柱的底面边长，若直线与底面。
所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为。
11. 数列的前项和为，若（），则 .
12. 已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有种。
13. 正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过作球的截面，则截面面积的最小值为。
14.已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是。
二．选择题（本大题满分20分）
15.若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或偶函数”是“是偶函数”的（ ）
充分非必要条件必要非充分条件。
充要条件既非充分又非必要条件。
16. 若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
17.将函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是（ ）
18. 若()是所在的平面内的点，且。
给出下列说法：
的最小值一定是；
点、在一条直线上；
向量及在向量的方向上的投影必相等。
其中正确的个数是（ ）
个个个个。三．解答题（本大题满分74分）
19. （本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知点，点在曲线：上。
1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；
2）求的最小值。
20. （本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知函数。1）求函数的最大值，并指出取到最大值时对应的的值；
2）若，且，计算的值。
21.（本题满分14分） 第1小题6分，第2小题8分。
如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体。开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计。
1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
2）在条件(1)下，设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数。（注：）
22. （本题满分16分） 第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分。
已知数列中，，，
1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上。
23.（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分。
定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成立，则称为阶缩放函数。
1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；
2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；
3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围。
2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准。
一。填空题（本大题满分56分）
1.； 2.； 3.
；4.； 5.； 6.
（不标明定义域不给分）； 7.； 8.； 9.
10．32； 11.1006； 12.31； 13.
； 14.；
二．选择题（本大题满分20分）
三．解答题（本大题满分74分）
19. 【解】设（）,
1）由已知条件得2分。
将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或……4分。
当时， 只有满足条件，所以点的坐标为………6分。
2）其中7分。
）……10分。
当时12分。
不指出，扣1分）
20. 【解】（1）……2分。
由得，……4分。
所以当时，，此时………6分。
2）由（1）得，，即………8分。
其中得………10分。
所以………11分。
………13分。
………14分。
21. 【解】（1）设每分钟滴下（）滴，……1分。
则瓶内液体的体积………3分。
滴球状液体的体积………5分。
所以，解得，故每分钟应滴下滴。……6分。
2）由（1）知，每分钟滴下药液………7分。
当时，，即，此时………10分。
当时，，即，此时……13分。
综上可得………14分。
22. 解：（1）将已知条件变形为……1分。
由于，则（常数）……3分。
即数列是以为首项，公比为的等比数列……4分。
所以，即（）。5分。
2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（由题意得，将，，代入上式得……7分。
………8分。
化简得，，即，得，解得。
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等比数列。……10分。
3）若，，成等差数列，则。
即，变形得……11分。
由于若，且，下面对、进行讨论：
若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；
若为奇数，为偶数，则，解得；
若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；……15分。
综上①②③可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，此时满足条。
件点列落在直线（其中为正奇数）上。……16分（不写出直线方程扣1分）
23. 解：（1）由得，……2分。
由题中条件得………4分。
2）当（）时，，依题意可得：
…6分。方程或，与均不属于……8分。
当（）时，方程无实数解。
注意到。所以函数在上无零点。……10分。
3）当，时，有，依题意可得：
当时，的取值范围是…12分。
所以当，时，的取值范围是。…14分。
由于…16分。
所以函数在（）上的取值范围是：
…18分。
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