2023年南京市高三数学第一次调研考试。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在相应的位置上）
1.已知复数，则的虚部为。
2.设集合，，则a∩b的子集的个数是。
3.已知点a和点b分别为椭圆c:的左顶点和上顶点，若直线ab的倾斜角的正弦值为，则。
4.如图，运行右边的算法流程，当输出的值为11时，则对应输入的值为。
5.某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例4﹕5：1，其中青年教师有120人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为。
6.设，则是的
条件。7.用表示两数中的最大值；若函数的图像关于直线对称，则t的值为。
8为等差数列，为其前n项和，若，则。
9.已知m,n,l是互不重合的直线，α，是互不重合的平面，有下列命题：
.若直线上有两个不同的点到平面α的距离相等，则∥；
.设m,n是两条异面直线，若∥,则；
.若，则∥;
.若m,n是两条异面直线，且m,n都平行于平面α和平面β，则α和β相互平行；
.若在平面α内有不共线的四点到平面β的距离相等，则α∥β
其中所有真命题的序号是。
10.已知ab、mn为圆c：的两条相互垂直的弦，垂足为r，若四边形abmn的面积的最大值为14，则a
是△abc外接圆的圆心，ab=1，ac=2，且，则△abc的边长bc
12.设a,b是正实数，记，则g的最大值是。
13.若有，则的最小值是。
14.设函数，若有且仅有一个正实数x0，使得对任意的正实数t成立，则x0
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分14分）设向量，若函数在处取得最大值。
1）求函数f(x)在上的单调递增区间；
2）已知a为△abc的内角，若，求的值。
16.(本小题满分14分)如图，在四面体a-bcd中，有cb=cd，平面abd⊥平面bcd，点e、f分别为bd，ab的中点，mn∥平面abd。求证：
1）平面abd⊥平面efc；
2）直线mn∥直线gh。
17.（本小题满分14分）已知某品牌汽车的市场需求量（万辆），市场**量（万辆），与市场**x（万元∕辆）之间分别近似地满足下列的关系：和。
当时的市场**称为市场平衡**，此时的需求量称为平衡需求量。
1）求平衡**和平衡需求量；
2）科学研究表明，汽车尾气的排放不但污染环境，加速全球变暖，而且过多的私家车增加了城市交通的压力，加大了能源的消耗；某**为倡导低碳型生活方式，决定对该品牌汽车的销售征收附加税，每售出一辆该产品的汽车征收2万元的附加税，试求新的市场平衡**和平衡需求量。
18.（.本小题满分16分）已知圆m，椭圆c：（a>b>0）,若椭圆c与轴的交点到其右准线的距离为；点a在圆m外，且圆m上的点和点a的最大距离与最小距离之差为2。
1）求圆m的方程和椭圆c的方程；
2）设点p为椭圆c上任意一点，自点p向圆m引切线，切点分别为a、b，请试着去求的取值范围；
3）设直线系m：；求证：直线系m中的任意一条直线l恒与定圆相切，并直接写出三边都在直线系m中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积。
19.（本小题满分16分）已知函数，其中。
1）当时，若和都是的极值点，试求的单调递增区间；
2）当时，若，且不是的极值点，求出和的值；
3）当且时，设函数在点处的切线为，若。
在点m处穿过函数的图像（即动点在点m附近沿曲线运动，经过点m时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式。
20.(本小题满分16分)设正项数列的前n项和为，若，对恒成立，则称为收敛数列。已知数列为等差数列，，公差d为质数；为等比数列，，公比q的倒数为正偶数，且满足。
1）求数列和的通项公式；
2）是判断数列是否为收敛数列？若是，请证明；若不是请说明理由；
3）设，试判断数列是否为收敛数列？若是，请证明；若不是请说明理由。
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