南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试。
数学试题。总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
1．设集合，集合，若，则。
2．若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数。
3．在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是
4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为。
5．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则。
6．运行如图所示的程序后，输出的结果为。
7．若变量满足，则的最大值为。
8．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为。
9．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则。
10．若实数满足，且，则的最小值为。
11．设向量，，则“”是“”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
12．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则。
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数。 如果对于，，使得，则实数的取值范围是。
14．已知数列满足，，，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为。
二、解答题（本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）
15．在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点。 记。
1）求函数的值域；
2）设的角所对的边分别为，若，且，，求。
16．(本小题满分14分)
如图，在正方体中，分别为的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面。
17．在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为。
1）求椭圆的标准方程；
2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当三点共线时，试确定直线的斜率。
18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径。
假定拟建体育馆的高米。
1）若要求米， 米，求与的值；
2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；
3）若，求的最大值。
参考公式：若，则）
19．设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.
1）求数列的通项公式；
2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
3）设数列满足：对任意的正整数，都有。
且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围。
20．已知函数，.
1）设。 若函数在处的切线过点，求的值；
当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；
2）设函数，且，求证：当时，.
附加题。21. a、（选修4—1：几何证明选讲）
如图，已知点为的斜边的延长线上一点，且与的外接圆相切，过点作的垂线，垂足为，若，，求线段的长。
b、（选修4—2：矩阵与变换）
求直线在矩阵的变换下所得曲线的方程。
c、（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离。
d、解不等式。
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，，动点满足，当时，.
1）求棱的长；
2）若二面角的大小为，求的值。
23．设集合，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为。
1）求的值；
2）求的表达式。
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