2011高考数学萃取精华30套（17）
1.宁乡县开模。
19．（本小题满分12分）
某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，**上市初期和后期会因供不应求使**呈持续**态势，而中期又将出现供大于求使**连续**．现有三种**模拟函数：①；以上三式中、均为常数，且）
i）为准确研究其**走势，应选哪种**模拟函数，为什么？
ii）若，，求出所选函数的解析式（注：函数定义域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此类推）；
iii）为保证养殖户的经济效益，当地**计划在****期间积极拓宽外销，请你**该海鲜将在哪几个月份内****．
解：（i）根据题意，应选模拟函数2分。
3分。若≥恒成立，即≥恒成立。
解之得≤． 10分。
iii）由（ii）得≥，即11分。
12分。13分。
所以，得9分。
所以。所以直线的斜率为10分。
则直线的方程可设为。
由，得点的坐标为12分。
所以≥当且仅当即时取等号14分。
2. 日照一模。
20)(本小题满分12分)
已知数列的前项和为且。
(ⅰ)求证数列是等比数列，并求；
(ⅱ)已知集合问是否存在实数，使得对于任意的都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
20)解：(ⅰ当时1分。
时，由得。变形得4分。
故是以为首项，公比为的等比数列6分。
ⅱ)(1)当时，只有时。
不适合题意7分。
2)时， 即当时，不存在满足条件的实数9分。
3)当时，
而。因此对任意的要使只需解得………11分。
综上得实数的范围是12分。
21)(本小题满分12分)
已知抛物线的方程是圆的方程是。
直线是的公切。
线，是的焦点．
(ⅰ)求与的值；
ⅱ)设是抛物线上的一动点，以为切点作的。
切线交轴于点，若，则点在一定直线上，试证明之。
21)解：(ⅰ由己知，圆的圆心为，半径。
由题设圆心到直的距离。
即解得（舍去3分。
设与抛物线相切的切点为又得。
代入直线方程，得………6分。
所以。ⅱ)由(ⅰ)知抛物线的方程为焦点。
设，由(ⅰ)知以为切点的切线方程为………8分。
令得点的坐标为。
所以10分。
因设。即点在定直线上12分。
22)(本小题满分14分)
己知。(ⅰ)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；
(ⅲ)的图象与轴交于两点中点为，求证：。
22)解：(ⅰ依题意：
在上递增，对恒成立。
即对恒成立，只需2分。
当且仅当时取，的取值范围为4分。
ⅱ)当时，，其定义域是。
6分。时，当时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。
当时，函数取得最大值，其值为。
当时，即。函数只有一个零点9分。
(ⅲ)由已知得两式相减，得。
………11分。
由及，得。12分。
令且。在上递减，
14分。3. 德阳二模。
19．（本小题满分12分）已知函数，在处取得极值为．
ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
ⅲ）若为图象上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围．
19.解：（ⅰ已知函数， …分。
又函数在处取得极值2分。
即4分。ⅱ）由，得，即。
所以的单调增区间为（－1，16分。
因函数在（m，2m＋1）上单调递增，则有分。
解得即时，函数在（m，2m＋1）上为增函数 ……分。
直线l的斜率分。
即令分。则。
即直线l的斜率k的取值范围是 ……1２分。
20．（本小题满分12分）已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有。
ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值。
20.解：(ⅰ因为，所以有。
所以为直角三角形2分。
则有。所以3分。
又4分。在中有。
即，解得。所求椭圆方程为6分。
从而将求的最大值转化为求的最大值8分。
是椭圆上的任一点，设，则有即。
又，所以10分。
而，所以当时，取最大值。
故的最大值为12分。
21．（本小题满分12分）已知函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为．
1）求数列{}的通项公式；
2）若数列的项仅最小，求的取值范围；
3）令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：．
21. 【解析】（1）令，解得，由，解得，函数的反函数，则，得．
是以2为首项，l为公差的等差数列，故3分。
2）∵，在点处的切线方程为，
令， 得，∴，仅当时取得最小值，∴，解之，的取值范围为7分。
则，因，则，显然．
． …12分。
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