专题五立体几何。
第1讲空间几何体。
1．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的体积为( )
a．36b．12π
c．4d．4π
2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )
ab．2c．2d．6
3．(2023年唐山一中质检)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
a．16b．20π
c．24d．32π
4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
a. a2b．2a2
c. a2d. a2
5．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积为πrh时，圆柱的母线长为( )
ab. cd.
6．(2023年河南开封调研)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为( )
a. a3b. a3
c. a3d. a3
7．下面是关于四棱柱的四个命题：
若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中真命题的编号是___写出所有真命题的编号)．
8．如图所示两组立体图形都是由相同的小正方体拼成的．
1)图(1)的正(主)视图与图(2)的___相同．
2)图(3)的___图与图(4)的___图不同．
9．(2023年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。
10．如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？
11．(2023年高考陕西卷)如图，在四棱锥p－abcd中，底面abcd是矩形，p
a⊥平面abcd，ap＝ab，bp＝bc＝2，e，f分别是pb，pc的中点．
1)证明：ef∥平面pad；
2)求三棱锥e－abc的体积v.
12．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．
1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；
2)证明：a1c⊥平面ab1c1；
3)若d是棱cc1的中点，在棱ab上取中点e.判断de是否平行于平面ab1c1？并证明你的结论．
第2讲点、直线、平面之间的位置关系。
1．(2023年高考湖南卷)平行六面体abcd－a1b1c1d1中，既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为( )
a．3b．4
c．5d．6
2.已知平面α⊥平面β，αl，点a∈α，al，直线ab∥l，直线ac⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
a．ab∥mb．ac⊥m
c．abd．ac⊥β
3．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的是( )
a．若a∥α，b∥α，则a∥b
b．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β
c．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
d．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b
4．(2023年包头市质检)设a，b，c，d是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
a．若ac与bd共面，则ad与bc共面。
b．若ac与bd是异面直线，则ad与bc是异面直线。
c．若ab＝ac，db＝dc，则ad⊥bc
d．若ab＝ac，db＝dc，则ad＝bc
5．如图，平面α⊥平面β，αl，a，c是α内不同的两点，b，d是β内不同的两点，且a，b，c，d直线l，m，n分别是线段ab，cd的中点．下列判断正确的是( )
a．当|cd|＝2|ab|时，m，n两点不可能重合。
b．m，n两点可能重合，但此时直线ac与l不可能相交。
c．当ab与cd相交，直线ac平行于l时，直线bd可以与l相交。
d．当ab，cd是异面直线时，直线mn可能与l平行。
6．在正四面体p－abc中，d、e、f分别是ab、bc、ca的中点，下面四个结论中不成立的是( )
a．bc∥平面pdf
b．df⊥平面pae
c．平面pdf⊥平面abc
d．平面pae⊥平面abc
7．如图，长方体abcd－a1b1c1d1中，mn在平面bcc1b1内，mn⊥bc于m，则mn与平面ab1的位置关系是___
8．(2023年山西长治二中模拟)在正三棱锥p－abc中，d、e分别是ab、bc的中点，有下列三个结论：
ac⊥pb，②ac∥平面pde；③ab⊥平面pde.
则所有正确结论的序号是___
9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
直线l与α垂直的充要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号是___写出所有真命题的序号)．
10．如图，在四棱锥p－abcd中，pd⊥平面abcd，ad⊥平分∠adc，e为pc的中点，ad＝cd.
1)证明：pa∥平面bde；
2)证明：ac⊥平面pbd.
11．如图，在四棱锥p－abcd中，侧面pad⊥底面abcd，侧棱pa⊥pd，底面abcd是直角梯形，其中bc∥ad，∠bad＝90°，ad＝3bc，o是ad上一点．
1)若cd∥平面pbo，试指出点o的位置；
2)求证：平面pab⊥平面pcd.
12．(2023年河南洛阳调研)如图，已知三棱柱abc－a1b1c1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由b沿棱柱侧面经过棱cc1到点a1的最短路线长为2，设这条最短路线与cc1的交点为d.
1)求三棱柱abc－a1b1c1的体积；
2)在平面a1bd内是否存在过点d的直线与平面abc平行？证明你的判断；
3)证明：平面a1bd⊥平面a1abb1.
第3讲空间向量与立体几何。
1．在正三棱柱abc－a1b1c1中，d是cc1的中点，f是a1b的中点，且＝α＋则( )
a.α＝1b．α＝1
c．α＝1d．α＝1，β＝
2．(2023年山东曲阜市调研)已知平面α内有一个点m(1，－1，2)，它的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点p中，在平面α内的是( )
a．p(2,3,3b．p(－2,0,1)
c．p(－4,4,0d．p(3，－3,4)
3．如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1中，棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1m＝an＝，则mn与平面bb1c1c的位置关系是( )
a．相交b．平行。
c．垂直d．不能确定。
4．(2023年高考江西卷)如图，正四面体abcd的顶点a，b，c分别在两两垂直的三条射线ox，oy，oz上，则在下列命题中，错误的为( )
a．o－abc是正三棱锥。
b．直线ob∥平面acd
c．直线ad与ob所成的角是45°
d．二面角d－ob－a为45°
5．已知长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝bc＝1，aa1＝2，e是侧棱bb1的中点，则直线ae与平面a1ed1所成角的大小为( )
a．60b．90°
c．45d．以上都不正确。
6．已知正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，点p**段bd1上，当∠apc最大时，三棱锥p－abc的体积为( )
ab. cd.
7．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|a＋b|＝且λ>0，则。
8．在一直角坐标系中已知a(－1,6)，b(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后a、b两点间的距离为___
9．将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角a—bd—c，有如下四个结论：
ac⊥bd；
△acd是等边三角形；
ab与平面bcd所成的角为60°；
ab与cd所成的角为60°.
其中正确的序号是写出你认为正确的结论的序号)
10．(2023年高考湖南卷)如图所示，在长方体abcd－a1b1c1d1中，ab＝ad＝1，aa1＝2，m是棱cc1的中点．
1)求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值；
2)证明：平面abm⊥平面a1b1m.
11．如图，在四棱锥p－abcd中，pd⊥底面abcd，底面abcd为正方形，pd＝dc，e、f分别是ab、pb的中点．
1)求证：ef⊥cd；
2)求db与平面def所成角的正弦值．
12．如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，已知bc＝1，bb1＝2，ab⊥平面bb1c1c.
1)求直线c1b与底面abc所成角的正切值；
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