高考数学最后冲刺必读题解析（4）
19. （本题满分14分）
已知点满足：，且已知。
（1）求过点的直线的方程；
（2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；
3）求点的极限位置。
解：（1）由，得：
显然直线的方程为………3分。
（2）由，得：
∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：
当n＝2时，点。
假设当时，点，即。
当时，∴点。
综上，点………8分。
（3）由，得：
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列。
即点的极限位置为点p（0，1）……14分。
20. （本题满分14分）
已知直线与曲线交于两点a、b。
（1）设，当时，求点p的轨迹方程；
（2）是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。
（3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）设，则。
由消去y，得：
依题意有解得：
且，即或且。
∴点p的坐标为：消去m，得：，即。
由，得，解得或。
∴点p的轨迹方程为（或）……5分。
（2）假设存在这样的常数a
由消去y得：
解得： 当时，，且方程<2>判别式。
∴对任意，a、b两点总存在，故当时，对任意，都有………10分。
（3）假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数m。即。即。
化简，得：
∵a为任意正实数，即，矛盾。
故这样的常数m不存在。……14分。
20．（本小题满分12分）
数列，设sn是数列的前n项和，并且满足。
（ⅰ）令是等比数列，并求的通项公式；
（ⅱ）令。解：（ⅰ
依题意知，s、t是二次方程的两个实根。
……2分。在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根。
……4分。
ⅱ）由s、t是的两个实根，知。
…6分。故ab的中点c（）在曲线y=f(x)上。 …8分。
ⅲ）过曲线上点的切线方程为，又切线过原点。
解得=0，或。
当=0时，切线的斜率为ab；当时，切线的斜率为……10分。
∴两斜率之积。
故两切线不垂直。 …12分。
21．（本小题满分12分）
已知函数 （ⅰ）设处取到极值，其中。
（ⅱ）设求证：线段ab的中点c在曲线y=f(x)上；
（ⅲ）若，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直。
解：（ⅰ以线段ab的中点o为原点，直线ab为x轴建立直角坐标系，作cd⊥ab于d， 由题知： ①
而 ②由2分。
同理， ∴a（－1，0）、b（1，0）……4分。
设双曲线方程。
由………6分。
因为e、c两点在双曲线上，所以 ……8分。
解得，∴双曲线方程为 ……10分。ⅱ）设。
又m、n在双曲线上，满足②
将②代入①，12分。
又。取值范围为14分。
21. （12分）已知定点a（0，1），b（0，－1），c（1，0），动点p满足。
（1）求动点p的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
2）当。解：（1）设p(x，y)则。由得。
3分。整理得（*）4分。
当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分。
当k≠1时，*式化为。
表示心为半径的圆 6分。
（2）当k=2时，*式化为。
此时， ∴其最小值为2，最大值为6 12分。
22. （14分）△abc中，|ab|=|ac|=1，，p1为ab边上的一点，，从p1向bc作垂线，垂足是q1；从q1向ca作垂线，垂足是r1；从r1向ab作垂线，垂足是p2，再由p2开始重复上述作法，依次得q2，r2，p3；q3，r3，p4……
（1）令bpn为xn，寻求bpn与（即）之间的关系。
（2）点列是否一定趋向于某一个定点p0？说明理由；
（3）若，则是否存在正整数m，使点p0与pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。
解：（1）由|ab|=|ac|=1，
从而△abc为边长为1的正三角形 2分。
则，于是。∴ 3分。
同样 4分。
又。即 5分。
（2）由（1）可得：
∴的等比数列。
∴ 7分。当。
∴点pn趋向点p0，其中p0在ab上，且bp0 9分。
（3） 11分。由。当。
∴的最小值为4 14分。
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