2023年高考数学最后冲刺必读题解析（28）
20)（本题满分分）
数列中，，当时，其前项的和满足。
ⅰ）证明：数列是等差数列；
ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数。
20)解（ⅰ）
即。是1为首项，1为公差的等差数列7分。
ⅱ）由（ⅰ）知，所以满足的最小正整数为1014分。
21)（本题满分分）
已知函数。ⅰ）求函数的极值；
ⅱ）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围。
21)解： （令。
所以的极小值为1,无极大值7分。
ⅱ）,若。当时，；当时，．
故在上递减，在上递增10分。
所以实数的取值范围是15分。
22)（本题满分分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小．
ⅰ）求曲线的方程；
ⅱ）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、．
ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由。
22)解：（ⅰ曲线的方程5分。
ⅱ）（设，
整理得： 同理可得：
又。10分。
ⅱ）由（ⅰ）知中点，
当时，则的中垂线方程为。
的中垂线与直线的交点。
若为等边三角形，则。
解得此时，当时，经检验不存在满足条件的点。
综上可得：满足条件的点存在，坐标为15分。
20．（本题满分12分）已知实数ａ≠０函数有极大值32.
1）求实数的值；
2）求函数的单调区间。
20． 解（ⅰ）
令，得或2.
函数有极大值32，在时取得极大值。 解得。
当时，当时，
在时，有极大值32.时函数有极大值32. …7分。
ⅱ）由得或。
∴函数的单调增区间是（－；单调减区间是（
21．（本题满分12分）已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是。 (i)求曲线的方程；
ii)设为曲线与轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为的直线，与曲线相交于两点，使，且与夹角为？若存在，求出值，并写出直线的方程；若不存在，请说明理由。
21. 解：(ⅰ设为曲线上任意一点，依题意(2分)
化简：，为椭圆，其方程为(4分)
ⅱ)设直线，
由消去得： (6分)
设，中点，则，1)
依题意：，与夹角为，为等边三角形，即，……2）
由（2）代入（1）：，又为等边三角形，到距离，即解得： ，
经检验，使方程有解，所以直线的方程为： (12分)
22． （本题满分14分）已知数列的前项和，且，其中， （1）求，并猜想数列的通项公式；
2）求证：数列是等差数列；
3）设数列满足，为的前项和，求证：
22.（14分。
2）已知式即， 故。
因为， 当然， 所以。
由于， 且， 故。
于是， ,所以8分。
3) 由， 得， 故。从而。
因此。设。
故。注意到， 所以。
特别地， 从而。
所以14分。
………14分。
18．（本题满分13分）
在数列中，（1）求的值；
（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（3）求数列。
18．（本题满分13分）
（1）解：2分。
4分。（2）证明：
是首项为，公比为-1的等比数列。 7分，即。
的通项公式为。
所以当是奇数时，10分。
当是偶数时，12分。
综上， 13分。
19．（本题满分14分）
已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点a、b。
（1）求椭圆的方程；
（2）求的值（o点为坐标原点）；
（3）若坐标原点o到直线的距离为，求面积的最大值。
19．（本题满分14分）
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意。
解得。由 2分。
所求椭圆方程为 3分。
设，其坐标满足方程。
消去并整理得。
4分。则（*）5分。
故 6分。经检验满足式（*）式 8分。
（3）由已知，可得 9分。
将代入椭圆方程，[**：高考资源网]
整理得。10分[**：学|科|网][**：高考资源网zxxk]
11分。12分。
当且仅当，即时等号成立，经检验，满足（*）式。
当时， 综上可知13分。
当|ab最大时，的面积最大值 14分。
20．（本题满分13分）
已知函数。（1）若，求曲线处的切线；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。
20．（本题满分13分）
解：（1）当时，函数。
曲线在点处的切线的斜率为。
1分。从而曲线在点处的切线方程为。
即。（2） 3分。
令，要使在定义域（0，∞）内是增函
只需在（0，+∞内恒成立 4分。
由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需时，在（0，+∞内为增函数，正实数的取值范围是 6分。
（3）上是减函数，时，即 1分。
①当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，且，所以内是减函数。
当时，在。因为，所以。
此时，内是减函数。
故当时，上单调递减，不合题意；
②当时，由。
所以。又由（2）知当时，上是增函数，，不合题意； 11分。
③当时，由（2）知上是增函数，又上是减函数，故只需。而。即。
解得，所以实数的取值范围是。 13分。
注：另有其它解法，请酌情给分。
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