2023年高考数学最后冲刺必读题解析(28)
20)(本题满分分)
数列中,,当时,其前项的和满足。
ⅰ)证明:数列是等差数列;
ⅱ)设,数列的前项和为,求满足的最小正整数。
20)解(ⅰ)
即。是1为首项,1为公差的等差数列7分。
ⅱ)由(ⅰ)知,所以满足的最小正整数为1014分。
21)(本题满分分)
已知函数。ⅰ)求函数的极值;
ⅱ)设函数若函数在上恰有两个不同零点,求实数的取值范围。
21)解: (令。
所以的极小值为1,无极大值7分。
ⅱ),若。当时,;当时,.
故在上递减,在上递增10分。
所以实数的取值范围是15分。
22)(本题满分分)已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小.
ⅰ)求曲线的方程;
ⅱ)动点在直线上,过点分别作曲线的切线,切点为、.
ⅰ)求证:直线恒过一定点,并求出该定点的坐标;
ⅱ)在直线上是否存在一点,使得为等边三角形(点也在直线上)?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由。
22)解:(ⅰ曲线的方程5分。
ⅱ)(设,
整理得: 同理可得:
又。10分。
ⅱ)由(ⅰ)知中点,
当时,则的中垂线方程为。
的中垂线与直线的交点。
若为等边三角形,则。
解得此时,当时,经检验不存在满足条件的点。
综上可得:满足条件的点存在,坐标为15分。
20.(本题满分12分)已知实数a≠0函数有极大值32.
1)求实数的值;
2)求函数的单调区间。
20. 解(ⅰ)
令,得或2.
函数有极大值32,在时取得极大值。 解得。
当时,当时,
在时,有极大值32.时函数有极大值32. …7分。
ⅱ)由得或。
∴函数的单调增区间是(-;单调减区间是(
21.(本题满分12分)已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是。 (i)求曲线的方程;
ii)设为曲线与轴负半轴的交点,问:是否存在方向向量为的直线,与曲线相交于两点,使,且与夹角为?若存在,求出值,并写出直线的方程;若不存在,请说明理由。
21. 解:(ⅰ设为曲线上任意一点,依题意(2分)
化简:,为椭圆,其方程为(4分)
ⅱ)设直线,
由消去得: (6分)
设,中点,则,1)
依题意:,与夹角为,为等边三角形,即,……2)
由(2)代入(1):,又为等边三角形,到距离,即解得: ,
经检验,使方程有解,所以直线的方程为: (12分)
22. (本题满分14分)已知数列的前项和,且,其中, (1)求,并猜想数列的通项公式;
2)求证:数列是等差数列;
3)设数列满足,为的前项和,求证:
22.(14分。
2)已知式即, 故。
因为, 当然, 所以。
由于, 且, 故。
于是, ,所以8分。
3) 由, 得, 故。从而。
因此。设。
故。注意到, 所以。
特别地, 从而。
所以14分。
………14分。
18.(本题满分13分)
在数列中,(1)求的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;
(3)求数列。
18.(本题满分13分)
(1)解:2分。
4分。(2)证明:
是首项为,公比为-1的等比数列。 7分,即。
的通项公式为。
所以当是奇数时,10分。
当是偶数时,12分。
综上, 13分。
19.(本题满分14分)
已知椭圆的离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点a、b。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的值(o点为坐标原点);
(3)若坐标原点o到直线的距离为,求面积的最大值。
19.(本题满分14分)
解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意。
解得。由 2分。
所求椭圆方程为 3分。
设,其坐标满足方程。
消去并整理得。
4分。则(*)5分。
故 6分。经检验满足式(*)式 8分。
(3)由已知,可得 9分。
将代入椭圆方程,[**:高考资源网]
整理得。10分[**:学|科|网][**:高考资源网zxxk]
11分。12分。
当且仅当,即时等号成立,经检验,满足(*)式。
当时, 综上可知13分。
当|ab最大时,的面积最大值 14分。
20.(本题满分13分)
已知函数。(1)若,求曲线处的切线;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围。
20.(本题满分13分)
解:(1)当时,函数。
曲线在点处的切线的斜率为。
1分。从而曲线在点处的切线方程为。
即。(2) 3分。
令,要使在定义域(0,∞)内是增函
只需在(0,+∞内恒成立 4分。
由题意的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为,只需时,在(0,+∞内为增函数,正实数的取值范围是 6分。
(3)上是减函数,时,即 1分。
①当时,其图象为开口向下的抛物线,对称轴在车的左侧,且,所以内是减函数。
当时,在。因为,所以。
此时,内是减函数。
故当时,上单调递减,不合题意;
②当时,由。
所以。又由(2)知当时,上是增函数,,不合题意; 11分。
③当时,由(2)知上是增函数,又上是减函数,故只需。而。即。
解得,所以实数的取值范围是。 13分。
注:另有其它解法,请酌情给分。
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