2023年高考数学最后冲刺必读题解析（24）
21．正数数列的前n项和为sn，且2．
1) 试求数列的通项公式；(2)设bn＝，的前n项和为tn，求证：tn<．
21．（1）∵an>0，，∴则当n≥2时，即，而an>0，∴
又6分。2)…12分。
22．已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列满足a1＝，an+1＝，设bn＝．
证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(an)的表达式；
是否存在正整数m，使得对任意n∈n，都有bn《成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
22．（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．……3分。
即 ∴是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－7分。
若恒成立（n∈n＋），则
∵n∈n＋，∴当n＝1时，有最大值4，故m>4．又∵m∈n，∴存在m＝5，使。
得对任意n∈n＋，有14分
20．（本小题满分分）
已知数列的前项和为，且对任意，有成等差数列．
ⅰ）记数列，求证：数列是等比数列．
ⅱ）数列的前项和为，求满足的所有的值．
20) 本题满分14分。
ⅰ）证明：，
又由。所以数列是首项为，公比为的等比数列………7分)
ⅱ）解：，
所以的值为3，414分)
21．（本小题满分15分）
已知函数．ⅰ）求函数的极小值；
ⅱ）若对任意， 恒有，求的取值范围．
21）本题满分15分。
ⅰ) 解：,因为，所以，的极小值为6分)
ⅱ) 解： 若时，当时在上递增，当时＜在上递减，所以的最大值为，令；
若时，当时在上递增，所以的最大值为。
又，所以无解。
由上可在知15分)
22．（本小题满分15分）
已知圆过点， 且与直线相切．
ⅰ）求圆心的轨迹的方程；
ⅱ）若直角三角形的三个顶点在轨迹上，且点的横坐标为1，过点分别作轨迹的切线，两切线相交于点，直线与轴交于点，当直线的斜率在上变化时，直线斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线的方程；若不存在，请说明理由？
22) 本题满分15分。
ⅰ) 解：（15分)
ⅱ) 解： b，设，，
设bc的斜率为k,则。
又，c a直线ac的方程为，令。
ad: 同理cd:，联立两方程得d
令递减，所以，当时，最大为8
所以，bc的方程为即15分)
22、(本题满分16分)
如图，p是圆上的动点，p点在轴上的投影是d，点m满足。
1）求动点m的轨迹c的方程，并说明轨迹是什么图形；
2）过点的直线与动点m的轨迹c交于不同的两点，求以为邻边的平行四边形的顶点的轨迹方程。
（3）若存在点，使得四边形为菱形（意义同（2）），求实数的取值范围。
解：（1）动点m的轨迹c的方程：
2）顶点的轨迹方程：
3）实数的取值范围：
23、（本题满分18分）
若无穷等差数列中，，公差为，前项和为，其中（为常数）
1）求的值；
2）若，数列的前项和为，且，若对于任意的正整数总有恒成立，求实数的取值范围。解：（1）
19、（本题满分14分）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点a（2，0）b(0,1)的直线有且只有一个公共点t，且椭圆的离心率e
ⅰ)求椭圆方程；
ⅱ)设f、f分别为椭圆的左、右焦点，求证： 。
19解：（ⅰ过 a、b的直线方程为。
因为由题意得有惟一解。
即有惟一解，所以，
故。又因为，即，
所以 从而得。
故所求的椭圆方程为。
ⅱ）由（ⅰ）得，所以。
由解得， 因此。
从而，因为， 所以 ……12分。
20．（本小题满分14分）
已知数列满足：
（i）求证：数列为等比数列；
（ii）求证：数列为递增数列；
（iii）若当且仅当的取值范围。
20．解：（i）
是等差数列。又。2分。
5分。又。
为首项，以为公比的等比数列 6分。
（ii）当。
又 是单调递增数列 9分。
（iii）时，
即。12分。
21．（本小题满分14分）
已知函数。（i）当的值域；
（ii）对于任意成立，求实数的取值范围。
21．解：（i）
4分。（ii）设时，函数的值域为a，总存在。
（1）当时，上单调递减，8分。
（2）当时，令。
（舍去）①当时，列表如下：
若，则。11分。
②当时，时，函数上单调递减。
13分。综上，实数的取值范围是14分。
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