2011高考数学萃取精华30套（22）
1德阳二模。
20)（本题满分分）
数列中，，当时，其前项的和满足。
ⅰ）证明：数列是等差数列；
ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数。
20)解（ⅰ）
即。是1为首项，1为公差的等差数列7分。
ⅱ）由（ⅰ）知，所以满足的最小正整数为1014分。
21)（本题满分分）
已知函数。ⅰ）求函数的极值；
ⅱ）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围。
21)解： （令。
所以的极小值为1,无极大值7分。
ⅱ）,若。当时，；当时，．
故在上递减，在上递增10分。
所以实数的取值范围是15分。
22)（本题满分分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小．
ⅰ）求曲线的方程；
ⅱ）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、．
ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由。
22)解：（ⅰ曲线的方程5分。
ⅱ）（设，
整理得： 同理可得：
又。10分。
ⅱ）由（ⅰ）知中点，
当时，则的中垂线方程为。
的中垂线与直线的交点。
若为等边三角形，则。
解得此时，当时，经检验不存在满足条件的点。
综上可得：满足条件的点存在，坐标为15分。
2重庆八中一诊。
19．（本小题满分12分）已知函数，在处取得极值为．
ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
ⅲ）若为图象上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围．
19.解：（ⅰ已知函数， …分。
又函数在处取得极值2分。
即4分。ⅱ）由，得，即。
所以的单调增区间为（－1，16分。
因函数在（m，2m＋1）上单调递增，则有分。
解得即时，函数在（m，2m＋1）上为增函数 ……分。
直线l的斜率分。
即令分。则。
即直线l的斜率k的取值范围是 ……1２分。
20．（本小题满分12分）已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有。
ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值。
20.解：(ⅰ因为，所以有。
所以为直角三角形2分。
则有。所以3分。
又4分。在中有。
即，解得。所求椭圆方程为6分。
从而将求的最大值转化为求的最大值8分。
是椭圆上的任一点，设，则有即。
又，所以10分。
而，所以当时，取最大值。
故的最大值为12分。
21．（本小题满分12分）已知函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为．
1）求数列{}的通项公式；
2）若数列的项仅最小，求的取值范围；
3）令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：．
21. 【解析】（1）令，解得，由，解得，函数的反函数，则，得．
是以2为首项，l为公差的等差数列，故3分。
2）∵，在点处的切线方程为，
令， 得，∴，仅当时取得最小值，∴，解之，的取值范围为7分。
则，因，则，显然．
． …12分。
3. 盐城一模。
18．（本小题满分16分）
已知在△中，点、的坐标分别为和，点在轴上方。
ⅰ）若点的坐标为，求以、为焦点且经过点的椭圆的方程；
ⅱ）若∠，求△的外接圆的方程；
ⅲ）若在给定直线上任取一点，从点向(ⅱ)中圆引一条切线，切点为。 问是否存在一个定点，恒有？请说明理由。
19．（本小题满分16分）
设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）试确定的值，使得数列为等差数列；
ⅲ）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列。 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
20．（本小题满分16分）
设函数，．ⅰ）若，求的极小值；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由．
ⅲ）设有两个零点，且成等差数列，试**值的符号．
图表 2高考资源网。
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