2011高考数学萃取精华30套（13）
哈九中一模。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相交于两点，（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围
20．（1） 由已知，所以，所以
所以 1分
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为。
所以3分。所以4分。
（2）设 设与椭圆联立得。
整理得。得6分
由点在椭圆上得
8分。又由，即
所以所以。整理得。
所以10分
所以由得。所以，所以或12分。
21．（本小题满分12分）
已知函数 （1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（3）当时，设函数，若对任意地，恒成立，求实数的取值范围
21．解： …1
（1）当时，
令时，解得，所以在递增；
令时，解得，所以在递减 ……4
（2）因为，函数的图像在点处的切线的倾斜角为，
所以，所以，，…5 ，…6
因为对于任意的，函数在区间上总存在极值，
所以只需， …7
解得 ……8（3）设。
时，递增，所以不成立，（舍）
时，同，不成立，（舍）
时，递增，所以，解得
所以，此时时，递增，成立；
时，均不成立
综上， …12 利用分离变量法求解同样给分
22．选修4－1：几何证明选讲。
如图，ab是⊙o的直径，弦bd、ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f．
求证：（1）；
（3）, 四点共圆
（3）ab是⊙o的直径， ，同理，所以，, 到点的距离相等， ,四点共圆 ……10
23．选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线的极坐标方程为；
（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为轴，求曲线的直角坐标方程；
（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值
（2）设，则=……6
当时，的最大值为 ……10
24．选修4—5：不等式证明选讲。
已知函数。（1）求函数的值域；
（2）若，解不等式
24．（1）当时，……2 当时，，…4
所以，的值域为；……5
（2）当时，原不等式，此时解集为；……6
当时，原不等式，
此时解集为；……7
当时，原不等式，此时解集为；……8
综上，不等式的解集为 ……10
2. 冀州中学月考。
20、已知数列满足，，且，n=1,2,3,）.
1）求的值及数列的通项公式；
2）令，记数列的前n项的和为，求证： <3.
20、解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得………2分。
当n为奇数时，不妨设n=2m1，，则，为等差数列，1+2(m1)=2m1, 即4分。
当n为偶数时，设n=2m，，则，为等比数列，故，综上所述6分。
8分。两式相减：
10分 故12分
注：若求出猜想出通项（1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。
21、已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
1）求动点的轨迹的方程；
2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．
21、解：（1）设，，．
是线段的中点2分。
分别是直线和上的点，∴和．
4分。又5分，∴动点的轨迹的方程为6分。
2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．
设、、，则两点坐标满足方程组。
消去并整理，得8分，∴
即∴．∵与轴不垂直，∴，同理10分。
将①②代入上式可得12分。
22、已知函数。
1）求函数的定义域，并判断的单调性；
2）若。3）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。
22、解：（ⅰ由题意知。当。当。
当….（4分）
ⅱ）因为。由函数定义域知》0,因为n是正整数，故0所以6分。
令。1 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值。
2 当时，有两个实根。
当x变化时，、的变化情况如下表所示：
的极大值为，的极小值为。
3 当时，在定义域内有一个实根，
同上可得的极大值为 ……
…10分。综上所述，时，函数有极值；
当时的极大值为，的极小值为。
当时，的极大值为………12分。
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