江苏省郑集中学2011届高三数学。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知复数，且，则。
2．已知集合，则的所有非空真子集的个数是 ▲
3．某算法的伪**如右：则输出的结果是 ▲
4．把长为1的线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为。
5．已知：，：或”则是的。
条件。（填：充分非必要；必要非充分；充要；既非充分又非必要中的一个）
6．函数的最大值与最小值的积是。
7．函数在区间上的最大值是 ▲
8．已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为 ▲
9．平面上满足约束条件的点形成的区域为，区域关于直线对称的区域为，则区域和中距离最近两点的距离为。
10．已知四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列，则的所有根中最大根与最小根之差是。
11．若，，则的大小关系是。
12．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点，使得成立，则离心率的取值范围为ks5u
13．若实数、满足，则的取值范围是。
14．已知函数，，若存在，使为的最小值，为的最大值，则此时数对为。
二．解答题：
15．（1）设，若对任意的，都有关于的等式。
恒成立，试求的值；
（2）在中，三边所对的角依次为，且，，且，求的值。（14分）
16．（14分）如图，正三棱柱abc—a1b1c1中，ab=2，aa1=1，d是bc的中点，点p在平面bcc1b1内，pb1=pc1=高。考。资。源。网
ⅰ）求证：pa1⊥bc；高。考。资。源。网。
ⅱ）求证：pb1//平面ac1d．高。考。资。源。网ks5u
17．某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.
1)求的值；w w 5u. c om
2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
3)已知，求第三车间中女工比男工少的概率。
18．（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点为f，左右顶点分别为a、c，上顶点为b，过f,b,c三点作，其中圆心p的坐标为．
1) 若椭圆的离心率，求的方程；w w 5u. c om
2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
19．(本小题满分16分)
已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．
ⅰ）若数列的前项和为，且， ,求整数的值；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
ⅲ）若（其中，且（）是（）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项。
20．(本小题满分16分)
已知函数。ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；
ⅱ）若函数数有三个零点，求的值；
ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围。
b．附加题部分。
21．（选做题）从a，b，c，d四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
b．（本小题为选做题，满分10分）
已知矩阵，其中，若点p（1,1）在矩阵a的变换下得到点，1）求实数a的值； （2）求矩阵a的特征值及特征向量。
c．（本小题为选做题，满分10分）w w 5u. c om
设点分别是曲线和上的动点，求动点间的最小距离。
22．（本小题为必做题，满分10分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，为的中点。
1) 求直线与所成角的余弦值；w w 5u. c om
2) 在侧面内找一点，使面，并求出点。
到和的距离。
23．（本小题为必做题，满分10分）已知数列满足：.
1) 求证：使。
2) 求的末位数字。
郑集中学2011届高三数学答案。
一．填空题：
1．-1；2．510（，共9个元素，所以非空真子集个数为。
4．设三段长分别为，则总样本空间为其面积为，能构成三角形的事件的空间为其面积为，则所求概率为。5．充要；
所以：最大与最小值的积为。
10．；不妨设，则，所以，最大根与最小根之差为。
11．；我们知道当时，且为减函数，从而：（当时，）
15．（1）化简得：
则：关于的等式恒成立的充要条件是：
。。。4分。
平方得：，又因为：所以：。。5分。
所以：，而，所以：。。6分。
23分。6分。
8分。16．（1）连接交于，连接ks5u
2)且四边形为平行四边形。而。
平面，平面。平面。
17．解：（1）由题意可知4分。
2）由题意可知第三车间共有工人数为名，则设应在第三车间级抽取名工人，则8分。
3）由题意可知，且，满足条件的。
有，……共有31组．
设事件a：第三车间中女工比男工少，即，满足条件的。
有，……共有15组．故． 13分。
答：（1），（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为。 14分。
18．解：（1）当时，∵，点2分。
设的方程为， 由过点f,b,c得。
5分。由①②③联立解得7分。
所求的的方程为8分。
2）∵过点f,b,c三点，∴圆心p既在fc的垂直平分线上，也在bc的垂直平分线上，fc的垂直平分线方程为9分。
bc的中点为，
bc的垂直平分线方程为11分。
由④⑤得，即12分。
p在直线上，∴
∴由得14分。
椭圆的方程为15分。
19．解：（ⅰ由题意知，，所以由，得……3分。
解得，又为整数，所以5分。
ⅱ）假设数列中存在一项，满足，因为，∴（8分。
又，所以，此与（*）式矛盾。 所以，这要的项不存在……11分。
ⅲ）由，得，则………12分。
又，从而，因为，所以，又，故。 又，且（）是（）的约数，所以是整数，且………14分。
对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有。
由于是正整数，所以一定是数列的项………16分。
20．（13分。
由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增5分。
ⅱ）当时，因为，且在r上单调递增，故有唯一解7分。
所以的变化情况如下表所示：
又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得11分。
ⅲ）因为存在，使得，所以当时，……12分。
由（ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增，而，所以当时，；当时，也就是当时，；当时14分。
①当时，由，②当时，由，综上知，所求的取值范围为16分。
b．附加题部分。
21．b．解：（1）由 =，得………4分。
2）由（1）知 ，则矩阵a的特征多项式为。
令，得矩阵a的特征值为-1或3
当时二元一次方程。
矩阵a的属于特征值-1的一个特征向量为。
当时，二元一次方程。
矩阵a的属于特征值3的一个特征向量为。……10分。
c10分。22.(1) …5分
(2) 点到和的距离分别为。……10分。
23.解：(1)当n=1时，a1=3，假设n=k时，
当n=k+1时，
其中。使当n=k+1时，结论也成立。
使7分。(2) 故的末位数字是710分。
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