一、中考导航图。
1.二次函数的意义；
2.二次函数的图象；
二、中考课标要求。
三、中考知识梳理。
1.二次函数的图象。
在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式，先确定顶点(-,然后对称找点列表并画图，或直接代用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质。
抛物线的开口方向由a的符号来确定，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；简记左减右增，这时当x=-时，y最小值=;反之当a<0时，简记左增右减，当x=-时y最大值=.
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法。
一般地，在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解；在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴，则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系。
抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点，方程ax2+bx+c=0有两个相等实根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点，方程ax2+bx+c=0无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定。
a的符号由抛物线开口方向决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定。当c>0时，抛物线交y轴于正半轴；当c<0时，抛物线交y轴于负半轴；b的符号由对称轴来决定。当对称轴在y轴左侧时，b的符号与a的符号相同；当对称轴在y轴右侧时，b的符号与a的符号相反；简记左同右异。
6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题，应用数形结合思想来解决有关的综合性问题。
四、中考题型例析。
1. 二次函数解析式的确定。
例1 求满足下列条件的二次函数的解析式。
(1)图象经过a(-1,3)、b(1,3)、c(2,6);
(2)图象经过a(-1,0)、b(3,0),函数有最小值-8;
(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.
分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解。
(1)解：设解析式为y=ax2+bx+c,把a(-1,3)、b(1,3)、c(2,6)各点代入上式得。
解得。∴解析式为y=x2+2.
2)解法1:由a(-1,0)、b(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.
把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.
即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.
解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上，把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,解析式为y=2x2-4x-6.
解法3:∵图象过a(-1,0),b(3,0)两点，可设解析式为：y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.
∵函数有最小值-8.
又∵a≠0,∴a=2.
∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
3)解：由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即ab=6.
由抛物线的对称性可得a、b两点坐标分别为a(-4,0),b(2,0),设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),将a(-4,0),b(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.
点评：一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解；如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x-h)2+k来求解；若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).
2. 二次函数的图象。
例2(2003·孝感)y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点m(a,bc)在(
a.第一象限 b.第二象限。
c.第三象限 d.第四象限。
分析：由图可知：
抛物线开口向上a>0.
bc<0.
∴点m(a,bc)在第一象限。
答案：a.点评：本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号。
例3(2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( )
分析：一次函数y=ax+c,当a>0时，图象过。
一、三象限；当a<0时，图象过二、四象限；c>0时，直线交y轴于正半轴；当c<0时，直线交y轴于负半轴；对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲：
解：可用排除法，设当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，而一次函数y=ax+c应过。
一、三象限，故排除c;当a<0时，用同样方法可排除a;c决定直线与y轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y轴交点，本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点，故排除b.
答案：d.3. 二次函数的性质。
例4(2002·杭州)对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点再说出它们的两个不同点。
分析：本小题是个开放性题目，可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等。
解：相同点：①图象都是曲线，②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);
不同点：①图象形状不同，②自变量取值范围不同，③一个有最大值，一个没有最大值。
点评：本题主要考查二次函数和反比例函数的性质，有关函数开放性题目是近几年命题的热点。
4. 二次函数的应用。
例5 (2003·厦门)已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k,(1)求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x12+x22=-2k2+2k+1.
①求抛物线的解析式。
②设点p(m1,n1)、q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称。
求m+m的值。
分析：(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点，可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根，故令y=0,证△>0即可。
2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根。由根与系数的关系，求出k的值，可确定抛物线解析式；②由p、q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1.
解：(1)证明：△=2k+1)2-4(-k2+k)
=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.
∵8k2+1>0,即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.
∵x12+x22=-2k2+2k+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.
∴8k2=0,∴k=0,∴抛物线的解析式是y=x2+x.
②∵点p、q关于此抛物线的对称轴对称，∴n1=n2.
又n1=m12+m1,n2=m22+m2.
∴m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.
∵p、q是抛物上不同的点，∴m1≠m2,即m1-m2≠0.
∴m1+m2+1=0
即m1+m2=-1.
点评：本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系。二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点。
基础达标验收卷。
一、选择题：
1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( )
a.直线x=-3 b.直线x=3 c.直线x=-2 d.直线x=2
2.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点m(b,)在( )
a.第一象限；b.第二象限；c.第三象限； d.第四象限。
3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( )
4.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )
5.(2004·河北)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点p的横坐标是4,图象交x轴于点a(m,0)和点b,且m>4,那么ab的长是( )
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