二次函数中存在性问题是贵阳中考必考内容，近5年共考了4次，主要与几何图形结合起来考查，且都以解答题形式出现，分值12分．
预计2023年贵阳中考对二次函数存在性问题仍会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面积最值、特殊四边形等存在性问题．
中考重难点突破)
相似三角形存在性问题。
经典导例】例1】(2016贵阳模拟)如图，已知抛物线经过a(－2，0)，b(－3，3)及原点o，顶点为c.
1)求抛物线的函数表达式；
2)设点d在抛物线上，点e在抛物线的对称轴上，且以ao为边的四边形aode是平行四边形，求点d的坐标；
3)p是抛物线上第一象限内的动点，过点p作pm⊥x轴，垂足为点m，是否存在点p，使得以p，m，a为顶点的三角形与△boc相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
解析】(1)由于抛物线经过a(－2，0)，b(－3，3)及原点o，用待定系数法即可求出抛物线的表达式； (2)根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点d的坐标；(3)分两种情况讨论，①△amp∽△boc，②△pma∽△boc，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点p的坐标。
学生解答】解：(1)y＝x2 ＋2x；(2)当ao为平行四边形的边时，de∥ao，de＝ao，由a(－2，0)知：de＝ao＝2, 若d在对称轴直线x＝－1左侧， 则d横坐标为－3，代入抛物线表达式得d1(－3，3), 若d在对称轴直线x＝－1右侧， 则d横坐标为1，代入抛物线表达式得d2(1，3).
综上可得点d的坐标为(－3，3)或(1，3)；(3)存在．理由如下：∵b(－3，3)，c(－1，－1), 根据勾股定理得：bo2＝18，co2＝2，bc2 ＝20, ∵bo2＋co2＝bc2 , boc是直角三角形， 假设存在点p，使以p，m，a为顶点的三角形与△boc相似， 设p(x，y)，由题意知x＞0，y＞0，且y＝x2 ＋2x, ①若△amp∽△boc，则＝， 即＝， 故x＋2＝3(x2＋2x)，得：
x1＝，x2＝－2(舍去). 当x＝时，y＝，即p(，)若△pma∽△boc，则＝， 即＝，故x2 ＋2x＝3(x＋2), 得：x1＝3，x2＝－2(舍去)，当x＝3时，y＝15，即p(3，15).
故符合条件的点p有两个，分别是(，)或(3，15)．
1．(2017**)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点d的坐标为(1，)，与y轴的交点c的坐标为(0，3)，与x轴交于点a，b(a在b的左侧)．
1)求抛物线的表达式；
2)若过点a的直线l平分△abc的面积，求直线l的表达式；
3)点p从点a出发，沿点a向点b运动，运动速度为每秒2个单位，同时点q从b出发沿bc向点c运动，运动速度为每秒1个单位，连接pq，运动时间为t.当其中一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．求当△pbq与△abc相似时t的值．
解：(1)－x2＋x＋3；(2)令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴点a(－2，0)，点b(4，0)．设bc的中点为e，则点e的坐标为(2，)．直线l过点a，且平分△abc的面积，∴直线l过点a和点e，设直线l的表达式为y＝kx＋b，将点a(－2，0)，点e(2，)代入得解得∴直线l的表达式为y＝x＋；(3)∵a(－2，0)，b(4，0)，c(0，3)，∴ab＝6，bc＝5.∵点p的运动速度为每秒2个单位，点q的运动速度为每秒1个单位，∴bp＝6－2t，bq＝t.
∵∠pbq＝∠abc，∴若＝时，△pbq∽△abc或＝时，△qbp∽△abc，①当＝时，则＝，解得t＝；②当＝时，则＝，解得t＝.综上所述，△pbq与△abc相似时，t的值为或。
2．(2015西宁中考)如图，抛物线y＝－x2＋x－2交x轴于a，b两点(点a在点b的左侧)，交y轴于点c，分别过点b，c作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点d，将△bdc绕点c逆时针旋转，使点d旋转到y轴上得到△fec，连接bf.
1)求点b，c所在直线的函数表达式；
2)求△bcf的面积；
3)**段bc上是否存在点p，使得以p，a，b为顶点的三角形与△boc相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)直线bc的表达式为y＝x－2；(2)△bcf的面积为10；(3)存在．分两种情况讨论：①如图，过a作ap1∥y轴交线段bc于点p1，则△bap1∽△boc.
∵点a的坐标为(2，0)，∴点p1的横坐标是2；∵点p1在点bc所在的直线上，∴y＝x－2＝×2－2＝－1，∴点p1的坐标为(2，－1)；②如图，过点a作ap2⊥bc于点p2，过点p2作p2q⊥x轴于点q.∴△bap2∽△bco，∴＝解得ap2＝，bp2＝；∴s△ap2b＝ab·qp2＝ap2·bp2，∴2qp2＝×，解得qp2＝，∴点p2的纵坐标是－；∵点p2在bc所在直线上，∴x＝，∴点p2的坐标为(，－满足条件的p点坐标为(2，－1)或(，－
等腰三角形存在性问题。
经典导例】例2】如图，已知直线y＝3x－3分别交x轴，y轴于a，b两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过a，b两点，点c是抛物线与x轴的另一个交点(与a点不重合)．
1)求抛物线的表达式；
2)求△abc的面积；
3)在抛物线的对称轴上，是否存在点m，使△abm为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点m的坐标．
解析】(1)根据直线表达式求出点a及点b的坐标，然后将点a及点b的坐标代入抛物线表达式，可得出b，c的值，求出抛物线表达式；(2)由(1)求得的抛物线表达式，可求出点c的坐标，继而求出ac的长度，代入三角形的面积公式即可计算；(3)根据点m在抛物线对称轴上，可设点m的坐标为(－1，m)，分三种情况讨论，①ma＝ba；②mb＝ba；③mb＝ma，求出m的值后即可得出答案．
学生解答】解：(1)抛物线表达式为y＝x2＋2x－3；(2)s△abc＝ac·ob＝×4×3＝6；(3)存在，理由如下：抛物线的对称轴为直线x＝－1，假设存在m(－1，m)满足题意，讨论：
①当ma＝ab时，∵oa＝1，ob＝3，∴ab＝，∴解得m＝±，m1(－1，)，m2(－1，－)当mb＝ba时，＝，解得m1＝0，m2＝－6，∴m3(－1，0)，m4(－1，－6)(不符合题意舍去)；③当ma＝mb时，＝，解得m＝－1，∴m5(－1，－1)，故共存在4个点m1(－1，)，m2(－1，－)m3(－1，0)，m5(－1，－1)使△abm为等腰三角形．
3．(2015贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点a(0，－6)和点c(6，0)．
1)求抛物线的表达式；
2)若抛物线与x轴的负半轴交于b，试判断△abc的形状．(钝角三角形、直角三角形或锐角三角形)
解：(1)抛物线的表达式为y＝x2－5x－6；(2)△abc为锐角三角形．
直角三角形存在性问题。
经典导例】例3】(2016贵阳中考说明)
如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过a(－1，0)，c(0，4)两点，与x轴交于另一点b.
1)求抛物线的表达式；
2)已知点d(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，连接cd，bd，把△bcd沿bc折叠，求点d的对应点d′的坐标；
在抛物线上是否存在点p，使得△dd′p是以dd′为一直角边的直角三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
解析】(1)把a(－1，0)，c(0，4)两点的坐标代入y＝ax2＋bx－4a，根据待定系数法可得这个抛物线的表达式；(2)①将点d(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得到d点坐标，根据等腰直角三角形的判定可得△obc是等腰直角三角形，根据折叠的性质进一步得到点d的对应点d′的坐标；②存在满足条件的点p.过点d′作d′e∥bc交x轴于点e，交抛物线于点p1，根据待定系数法可得直线d′e的表达式，联立方程组可得点p1的坐标；过点d作df∥bc交y轴于点f，交抛物线于点p2，根据待定系数法可得直线df的表达式，联立方程组可得点p2的坐标．
学生解答】解：(1)y＝－x2＋3x＋4；(2)①如图①，将点d(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得：－m2＋3m＋4＝m＋1，化简得：
m2－2m－3＝0，解得m1＝－1(舍去)，m2＝3；∴d(3，4)，∴cd∥x轴，∴∠dco＝90°，由b(4，0)，c(0，4)可得：ob＝oc＝4，即△obc是等腰直角三角形，得：∠ocb＝∠dcb＝45°；把△bcd沿bc折叠，点d的对称点d′落在y轴上，且cd＝cd′＝3，od′＝oc－cd′＝1，则点d′的坐标为(0，1)；②存在满足条件的点p.
如图②，过d′作d′e∥bc交x轴于点e，交抛物线于点p1.∵dd′⊥bc，∴∠dd′p1＝90°，△od′e为等腰直角三角形，则e(1，0)，设直线d′e的表达式为y＝k1x＋b1，依题意得解得∴直线d′e的表达式为y＝－x＋1.由得过d作df∥bc交y轴于点f，交抛物线于点p2.
∵dd′⊥bc，∴dd′⊥df，∠d′dp2＝90°，△cdf为等腰直角三角形，则f(0，7)，设直线df的表达式为y＝k2x＋b2，依题意得解得∴直线df的表达式为y＝－x＋7.由得 (不符合题意舍去)．故在抛物线上存在点p，使得△dd′p是以dd′为一直角边的直角三角形，点p的坐标为(2－，－1＋)或(2＋，－1－)或(1，6)．
4．(2016原创)如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，其对称轴与x轴的交点为d，已知a(－1，0)，c(0，2)．
1)求抛物线的表达式；
2)判断△acd的形状，并说明理由；
3)在抛物线对称轴上是否存在一点p，使得△pbc是以点p为直角顶点的直角三角形，若存在，求点p的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；(2)△acd是等腰三角形，理由如下：∵抛物线y＝－x2＋x＋2的对称轴为直线x＝，∴点d(，0)．∵a(－1，0)，c(0，2)，∴ac＝，ad＝1＋＝，cd＝＝，ad＝cd≠ac，∴△acd是等腰三角形；(3)存在．令抛物线y＝－x2＋x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝4，∴点b的坐标为(4，0)，则bc＝＝2，如图，取bc的中点为s，则点s的坐标为(2，1)．设对称轴上存在点p(，t)，使得△pbc是以点p为直角顶点的直角三角形，则ps＝bc＝，即(2－)2＋(t－1)2＝5，解得t1＝1＋，t2＝1－，∴存在这样的点p满足条件，其坐标为(，1＋)或(，1－)．
面积最值存在性问题。
经典导例】例4】(2015安顺中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋与直线ab交于点a(－1，0)，b(4，)．点d是抛物线a，b两点间部分上的一个动点(不与点a，b重合)，直线cd与y轴平行，交直线ab于点c，连接ad，bd.
1)求抛物线的表达式；
2)设点d的横坐标为m，△adb的面积为s，求s关于m的函数关系式，并求出当s取最大值时的点c的坐标．
解析】(1)将抛物线上两点a，b的坐标分别代入抛物线表达式列方程组求解即可；(2)先根据直线过a，b两点列方程组并求出直线表达式，再用m表示出c，d两点的纵坐标得线段cd的长，由图可知，s＝s△acd＋s△bcd，根据三角形面积公式可得s关于m的二次函数，利用配方法求出s最大时m的值即可计算此时c点的坐标．
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