2023年中考数学总复习《二次函数》【二】
一．解答题（共30小题）
1．（2013邵阳）如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象e，将其向右平移两个单位后得到图象f．
1）求图象f所表示的抛物线的解析式：
2）设抛物线f和x轴相交于点o、点b（点b位于点o的右侧），顶点为点c，点a位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点c到x轴的距离的2倍，求ab所在直线的解析式．
2．（2013上海）如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为m的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点a和x轴正半轴上的点b，ao=ob=2，∠aob=120°．
1）求这条抛物线的表达式；
2）连接om，求∠aom的大小；
3）如果点c在x轴上，且△abc与△aom相似，求点c的坐标．
3．（2013汕头）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．
1）当二次函数的图象经过坐标原点o（0，0）时，求二次函数的解析式；
2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点c，顶点为d，求c、d两点的坐标；
3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点p，使得pc+pd最短？若p点存在，求出p点的坐标；若p点不存在，请说明理由．
4．（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点a（1，0）、b（3，0）两点．
1）写出这个二次函数图象的对称轴；
2）设这个二次函数图象的顶点为d，与y轴交于点c，它的对称轴与x轴交于点e，连接ac、de和db，当△aoc与△deb相似时，求这个二次函数的表达式．
提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为a（x1，0）、b（x2，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）]．
5．（2013三明）如图，△abc的顶点坐标分别为a（﹣6，0），b（4，0），c（0，8），把△abc沿直线bc翻折，点a的对应点为d，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点c，顶点m在直线bc上．
1）证明四边形abcd是菱形，并求点d的坐标；
2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
3）在抛物线上是否存在点p，使得△pbd与△pcd的面积相等？若存在，直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2013衢州）在平面直角坐标系x、y中，过原点o及点a（0，2）、c（6，0）作矩形oabc，∠aoc的平分线交ab于点d．点p从点o出发，以每秒个单位长度的速度沿射线od方向移动；同时点q从点o出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
1）当点p移动到点d时，求出此时t的值；
2）当t为何值时，△pqb为直角三角形；
3）已知过o、p、q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△pqb绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2013曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于a、b两点，过a、b两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点d为线段ab上一动点，过点d作cd⊥x轴于点c，交抛物线于点e．
1）求抛物线的解析式．
2）当de=4时，求四边形caeb的面积．
3）连接be，是否存在点d，使得△dbe和△dac相似？若存在，求此点d坐标；若不存在，说明理由．
8．（2013黔西南州）如图，已知抛物线经过a（﹣2，0），b（﹣3，3）及原点o，顶点为c
1）求抛物线的函数解析式．
2）设点d在抛物线上，点e在抛物线的对称轴上，且以ao为边的四边形aode是平行四边形，求点d的坐标．
3）p是抛物线上第一象限内的动点，过点p作pm⊥x轴，垂足为m，是否存在点p，使得以p，m，a为顶点的三角形与△boc相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2013黔东南州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
1）求抛物线的解析式；
2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
3）设抛物线与x轴的右边交点为a，过点a作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点b，点p在抛物线上，当s△pab≤6时，求点p的横坐标x的取值范围．
10．（2013齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点a（﹣4，0），b（﹣1，3），c（﹣3，3）
1）求此二次函数的解析式；
2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点p（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为m，点m关于y轴的对称点为n，若四边形oapn的面积为20，求m、n的值．
11．（2013莆田）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点a（﹣3，0）和点b（1，0）．与y轴交于点c，顶点为d．
1）求顶点d的坐标．（用含a的代数式表示）；
2）若△acd的面积为3．
求抛物线的解析式；
将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点p，且∠pab=∠dac，求平移后抛物线的解析式．
12．（2013平凉）如图，在直角坐标系xoy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于o、a两点．
1）求这个二次函数的解析式；
2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点b，使△aob的面积等于6，求点b的坐标；
3）对于（2）中的点b，在此抛物线上是否存在点p，使∠pob=90°？若存在，求出点p的坐标，并求出△pob的面积；若不存在，请说明理由．
13．（2013宁德）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣3x与经过点b（0，6）的直线相交于x轴上点a（3，0），p为线段ab上一动点（p点横坐标为t，且与点a、b不重合），过p作x轴垂线，交抛物线于q点，连接op，oq，qa．
1）写出直线ab表达式；
2）求t为何值时，△poq为等腰直角三角形；
3）设四边形apoq面积为s．求s与t的函数关系式，并求s的整数值的个数．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（﹣，对称轴是直线x=﹣．
14．（2013南通）某公司营销a、b两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售a种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．
信息2：销售b种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题；
1）求二次函数解析式；
2）该公司准备购进a、b两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售a、b两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
15．（2013南平）如图，已知点a（0，4），b（2，0）．
1）求直线ab的函数解析式；
2）已知点m是线段ab上一动点（不与点a、b重合），以m为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段oa交于点c．
求线段ac的长；（用含m的式子表示）
是否存在某一时刻，使得△acm与△amo相似？若存在，求出此时m的值．
16．（2013南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过c（2，0），d（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于a、b两点，直线l过点e（0，﹣2）且平行于x轴，过a、b两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点m、n．
1）求此抛物线的解析式；
2）求证：ao=am；
3）**：当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
17．（2013南昌）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为an﹣1（bn﹣1，0）和an（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为a0（0，0）和a1（b1，0），其他依此类推．
1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；
2）抛物线y3的顶点坐标为依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是。
3）**下列结论：
若用an﹣1an表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出a0a1的值，并求出an﹣1an；
是否存在经过点a（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
18．（2013内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于a（x1，0）、b（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点c，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
1）若抛物线的顶点为d，求s△abc：s△acd的值；
2）若∠adc=90°，求二次函数的解析式．
19．（2013牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点a（﹣4，﹣3），与y轴交于点b，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：
1）求抛物线的解析式．
2）若和x轴平行的直线与抛物线交于c，d两点，点c在对称轴左侧，且cd=8，求△bcd的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．
20．（2013绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点c的坐标为（0，﹣2），交x轴于a、b两点，其中a（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于d．
1）求二次函数的解析式和b的坐标；
2）在直线l上找点p（p在第一象限），使得以p、d、b为顶点的三角形与以b、c、o为顶点的三角形相似，求点p的坐标（用含m的代数式表示）；
3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点q，使△bpq是以p为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由．
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