一、教学进度
导数与微分。
二、学习指导。
通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（）、曲线在某一点处的切线的斜率（）、生产的边际成本（）三个实例（ 也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：函数的变化量△y与自变量的变化△x的比值当△x→0时的极限，并定义为函数f(x)在这一点处的导数。
并进而定义了导函数（简称导数）
导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。课本内只介绍了两个求导公式：c/=0，及=（n为正整数）课本已予推导；两个法则：
[f(x)±g(x) ]x)±g/(x). cf（x）]/c (x) .请同学们根据定义自行证明一下上述两个法则后再往下看：
f(x)±g(x) ]
c·）c=.
有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。
另外y≈·△x.
当△x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。
导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导实际问题的解决，凡是与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。
根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b(a＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x= x2－x1＞0). 恒有y1＜y2（记△y= y2－y1＞0）. 于是a（x1，y1），b（x2，y2）两点间连线斜率=＞0.
从而==＞0. 由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x= x2－x1＞0). 恒有y1＞y2.
记△y= y2－y1＜0.则a、b连线斜率=＜0，从而==＜0. 所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。
而导函数值为o的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值。 但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo左边＞0，而在xo右边＜0，则f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo左边＜0，而在xo右边＞0，则f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo左右符号相同，则f(xo)不是原函数的极值。
我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。
极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f(x)都大（小）. 则称f(xo)就是f(x)的一个极大（小）值。 且=0，但=0 .
f(xo)却不一定就是f(x)的极值。 最值是整体概念，若f(x)的定义域是r或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）, 当然也有可能不存在 . 若f(x)的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。
从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值。
三、典型例题。
例1．n∈n*求函数y=x—n（x≠0）的导函数。
我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。y/==
上述结果的形式与=有何关系？你能否据此猜度是什么（α∈r）？解： =
这与n为正整数时(xn)/=法则相合，（即以－n代n，即得上式。）
这会使我们猜测α∈r时， =这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.
例2．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点p（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。
提示：为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即。
y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.
抛物线焦点：f（－,它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。
显然，y0=ax+bx0+c
y/=2ax+b 故在p点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.
由于y=ax2+bx+c按向量=（，平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0x－ax满足：焦点（0，）关于l的对称点为（m，n）.
当x0≠0时，消去n. 知m=x0.
当x0=0时，切线为y=0，f之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点。
要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。
例3．求函数y=x4+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标。
首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点。
y/=4x3+1要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.
故切点：（0 , 2）. d==.
一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的。
距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的。
直线若与曲线y=f(x)相交，（a为一交点），则l/
与l间必存在y=f(x)上的点c，显然，c点到l
的距离小于l与l/间的距离，亦即a到l的距离。
当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d= =故距离最小值为。
上述等号当且仅当x0=0时取得故相应点坐标为（0，-2）.
解：y/= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为d==.
例4．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离s=gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，若v= =g=9.8m/s，则下列说法正确的是（ ）
a）0～1s时间段内的速率为9.8m/s.
b）在1～1+△ts时间段内的速率为9.8m/s.
c）在1s末的速率为9.8m/s
d）若△t＞0，则9.8m/s是1～1+△ts时段的速率。
若△t＜0，则9.8m/s是1+△ts～1时段的速率。
本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（c），但值得指出的是： 中的△t可正可负。
例5．定义在（α、上的函数f(x)满足f(1)=2， (1)=3. （1＜β）
1）求的值；
2）求的值。
本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式。
=（f(x)+2）
[f(1+△x)+2]= 1)·(f(1)+2)=3·(2+2)
=（x+1）
例6．曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1 在（3,4）点处的切线为l2：y=－2x+10，求曲线c的方程。
已知两点均在曲线c上。 ∴
y/=3ax2+2bx+c (0)=c (3)=27a+6b+c
l1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x－3)+4
与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=－，b=1. c：y=－x3+x2+x+1.
求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简。
例7．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c当 x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求此极小值及f(x).
与极值有关，当然先研究导函数， =3x2+2ax+b. 3和－1应为其两根。
∴，第三个待定系数应由f(－1)=7求出，得c=2，f(x)=x3－3x2－9x+2，从而求出极小值f(3)=－25.
解： (x)=3x2+2ax+b (x)=0的两根为3，－1
由韦达定理 ∴.
又7=f(－1)=－1+(－3)+(9)(－1)+c ∴c=2 .
极小值：f(3)=33+(－3)·32+(－9)·3+2=－25 .
f(x)=－x3－3x2－9x+2 .
例3．记u=xy, 则有x2－2x+4=0.
记u2=f(x)=.4y2=(x2－2x)＜0 ∴x∈(0,2)， 当x=时， =0，且在(0,)上＞0, 在（，2）上＜0，∴f(x)在x=时取极大值。 相应地y==
当x=时，有最大值。
例8．要制造一个容积为50cm3的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？
提示 ：若记底面半径为cm，高为h cm，则r2h=50.
表面积 *要求最值，先求导函数：. 知时， =0. 且＜时，0.＞时，＞0. 故当时s有极小值。
= (cm2) .
当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为≥
等号当且仅当==.即r =cm时。
解：记底面半径为rcm，高为hcm，由已知，==50.
表面积s=令=0 ， 得r=. 且在为负，而当为r＞为正。
故当r =时，s有最小值30（cm2）
例9．已知x、y∈r+. x2－2x+4y2=0. 求xy的最大值。
初看不知怎样下手。
记u=xy, 则有x2－2x+4=0. 即u2=f(x)=－
它的定义域可用4y2=2x－x2＞0求得，为(0，2).
要使正数u取得最大值，须u2取得最大值。
=. 当=0时，x=0(舍去)或，且当x∈（0，）时，＞0.时，＜0. 故f(x)在x=时取得极大值。 它也是f(x)的最大值。
由上可知，当x=时，（此时y=），u=xy取得最大值。
本题若直接写为u=或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了。
例10．已知f(x)=x2+1. g(x)=f［f(x)］.x)=g(x)+ f(x). 问是否存在实数，使(x)在（－∞上单调递减而在［，0］上单调递增？
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