本讲教育信息】
一。 教学内容：
数列。二。 教学重、难点。
等差、等比数列中的基本问题和数列的综合问题。
典型例题】例1]
1）数列中，，，成等差数列；，，成等比数列；，，的倒数成等差数列，那么，，的关系是？
2）记数列的前n项和为，若，求数列的通项。
解：1）由，得。
∴，即。故，成等比数列。
2）由题设得，当时，
当时，，故。
例2] 设三个整数、、成等差数列，，，成等比数列，且，求、、。
解：设，，则，，
由题意，即，故或。
当时，，则，此时。
当时，，则，此时，
因此，所求三数为，或，，
例3] 已知数列成等差数列，表示前项的和，且，。
1）求数列的通项公式；
2）数列中，从第几项开始（含此项）以后各项均为正数？
解：1）设数列的公差为，由已知可得。即。
解不等式，即 ∵
∴，或故从第8项开始以后各项均为正数。
例4] 设数列的首项，前项的和满足。
1）设t为常数，求证是等比数列；
2）设数列的公比为，作数列，使，（）求： 解：
－①得 又， ∴
是首项。公比的等比数列。
是首项，公差为的等差数列。
于是，所以、均成等差数列，公差为，其中。
例5] 已知数列的前项和，数列的首项，且。
1）求数列和的通项；
2）求证：存在自然数，对一切不小于的自然数，恒有。解：
当时， ∴ 又 ∵，且。
2）当时，∵，不成立。
当时，若恒成立，即恒成立，只须恒成立。
由于时， ∴ 令，则当时，恒有。
例6] 已知函数的图象过原点。
1）若，，成等差数列，求的值；
2）若，三个正数，，成等比数列，求证：。
解：1）由得 ∴
由，，成等差数列。
得。即，，解之得，（舍）
欲证。只需证，即证，∴ 只需证，即证，它是显然成立的。
所证不等式成立。
例7] 已知数列是公比大于1的等比数列，且，，，求满足的最小正整数。
解：设数列的首项为，公比为，根据题意，得，即。
即， ∵从而。又， 即。
又，故有，
满足的最小正整数。
例8] 数列共有项（为定值），它的前项和（，）现从项中抽取某一项（不抽首项、末项），余下的项的平均值是79。
1）求数列的通项；（2）求数列的项数并求抽取的是第几项。
解：1），（满足上述关系式。
2）设抽取的是第项，则。
由题意得，即。
即 ∴ 解得， ∴即抽取的是第20项，数列的项数。
模拟试题】一。 选择题。
1. 已知、、成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（ ）
a. 0 b. 1 c. 2 d. 1或2
2. 如果一个工厂的生产总值的月平均增长率是，则其年平均增长率是（ ）
a. b. c. d.
3. 设，的整数部分用表示，则的值是（ ）
a. 8204 b. 8192 c. 9218 d. 以上都不对。
4. 若的方程和（）的四个根可组成首项为的等差数列，则的值为（ ）
a. b. c. d.
5. 正项等比数列的首项，其前11项的几何平均数为，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是，则抽去一项的项数为（ ）
a. 6 b. 7 c. 9 d. 11
6. 取第一象限内的两点，，使1，，，2依次成等差数列；1，，，2依次成等比数列，则点、与射线：的关系为（ ）
a. 点、都在的上方b. 点、都在上。
c. 点、都在的下方d. 点在的下方，点在的上方。
7. 各项都是正数的等比数列中，公比，且，则的值为（ ）
a. b. c. d.
8. 在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比。则该三角形是（ ）
a. 锐角三角形 b. 直角三角形 c. 钝角三角形 d. 等腰三角形。
二。 填空题。
1. 在两数，（）之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间一个数是 。
2. 设。利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为 。
3. 数列中，对任意的正整数，都有：，则 。
4. 等差数列中，公差是自然数，等比数列中，，。现有数据：① 2；② 3；③ 4；④ 5。当中所有的项都是数列中的项时，可以取 （填上你认为正确的序号）。
三。 解答题。
1. 已知正数组成的等比数列，若前项的和等于它前项中偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍。求数列的通项公式。
2. 已知函数，数列满足，。求。
3. 已知数列的前项和为，且对任意自然数总有（是常数，且，）
1）求数列的通项公式；
2）数列中，（是常数），且，，求的取值范围。
试题答案。一。
1. d 2. d 3. a 4. d 5. a 6. c 7. b 8. a二。
三。1. 解：设的公比为，当时，，
又，显然，故。
依题意。解之。
又，即。 将代入得。
分析：由求出，从而得出与之间的递推关系式。
解：由（）得。又。
是等差数列，公差为2，首项为1。
解：1） ∴时，
即 ∴成等比数列，且公比为。
2）由已知，得，，消去得。
得，即，故或。
从而的取值范围是。
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