温馨提示：
高考题库为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的。
**比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。
考点8 数列的综合应用。
1.（2010·湖北高考理科·ｔ7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下。
去。设为前个圆的面积之和，则（ ）
ab. cd.
命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．
思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从小到大的顺序排列构造一个等比数列，由公比知。
规范解答】选c，设正六边形第n个内切圆的半径为，面积为，则，从而=，由，，知是首项为，公比为的等比数列。所以==4.
方法技巧】对于等比数列，若公比，则其前n项和当n趋向于正无穷大时极限存在且。
2.（2010·上海高考理科·ｔ１0）在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为．当时， ．
命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．
思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时对应的数，再求解．
规范解答】45．当时， 1+3+5+7++9+2+4+6+8=45.
方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．
3.（2010·湖北高考理科·ｔ20）已知数列满足： ,数列满足： =n≥1）.
ⅰ)求数列，的通项公式；
ⅱ)证明：数列中的任意三项不可能成等差数列。
命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．
思路点拨】(ⅰ由题意构造新数列满足：，先求的通项公式，再求的通项公式，最后求的通项公式。
ⅱ)用反证法证明。
规范解答】(ⅰ由题意可知： ，令，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，故。又》0，，故，=。
ⅱ)证明：（反证法）假设数列存在三项，，按某种顺序构成等差数列，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，于是一定有， 则只能有成立，即：，两边同乘以可得：
由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，从而上式不可能成立，导致矛盾。故数列中的任意三项不可能成等差数列。
方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式。
4.（2010·重庆高考理科·ｔ21）在数列中，=1，，其中实数。
1）求的通项公式；
2）若对一切有，求的取值范围。
命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想。
【思路点拨】（1）先求出数列的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明；（2）对恒成立问题进行等价转化，规范解答】（1）【方法1】：由，猜测（），
下面用数学归纳法证明。
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，综上可知，对任何都成立。
方法2】：由原式，令，则，，因此对有。
因此，，。又当n=1时上式成立。
因此，，。2）【方法1】：由，得。
因，所以。解此不等式得：对一切，有或，其中。
易知（因为的分子、分母的最高次项都是2，且系数都是8，所以极限值是）；用放缩法得：
所以，因此由对一切成立得；
又，易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得：
从而c的取值范围为。
方法2】：由，得，因，所以对恒成立。
记，下分三种情况讨论。
i）当即或时，代入验证可知只有满足要求。
ii）当时，抛物线开口向下，因此当正整数k充分大时，，不符合题意，此时无解。
iii）当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左侧，因此，在上是增函数。
所以要使对恒成立，只需即可。
由解得或。结合或得或。
综合以上三种情况，的取值范围为。
方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用。
5.（2010·重庆高考文科·ｔ16）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前n项和。
1）求通项公式及；
2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n项和。
命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查等差数列、等比数列的前项和公式及其应用，考查运算求解的能力，考查化归与转化的思想。
思路点拨】（1）直接套用等差数列的通项公式和前项和公式计算；（2）直接套用等比数列的通项公式求出的通项，再求数列的通项公式。
规范解答】（1）因为是首项为19，公差为-2的等差数列，所以，即；
即。2）因为是首项为1，公比为3的等比数列，所以，即，所以。
方法技巧】在求时，巧妙的利用（1）中的和可以快捷解题。
6.（2010·江西高考理科·ｔ２本小题满分14分）
证明以下命题：
1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；
2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列．
【命题立意】本题是一类新型探索题，主要考查等差数列的定义及通项公式，等差数列的证明等基础知识，考查由特殊到一般的思想，考查等价命题的转化，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，函数与方程思想方法，考查思维的严密性，本题属难题。
【思路点拨】（1）先找到成等差数列，是解决本小题的关键；（2）先选取与自然数n有关的多项式进行分解因式，再解方程组确定边长，最后证明三角形的存在性和无穷性，难点在于构造多项式。
规范解答】（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对。
任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．
2）若成等差数列，则有，即。
选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于。
因此令，可得。
易验证满足①，因此成等差数列，当时，有且。
因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为．
其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：
据此例性质有：
所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列．
方法技巧】1、这类题目难度大，技巧性高，一般很难直接找到问题的突破口，只有平时打好基础，注意知识的总结和一些规律性的小结论的积累，才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答，并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子。
2、本例第（1）问的突破口如下：设1，,,符合条件要求，则有，由于，均为自然数，所以为奇数，又设，则，化简得，可见，也为奇数，再设=,又得，化简得，故，且，解得。从而=5,=7,这样问题就得到了解决。
7.（2010·四川高考理科·ｔ21）已知数列满足，且对任意都有。
ⅰ）求，；ⅱ）设证明：数列是等差数列；
ⅲ）设，求数列的前项和。
命题立意】本小题主要考查数列的递推公式、等差数列的概念及求和公式，等比数列的求和公式，错位相减法数列求和等知识的应用，考查化归，分类整合等数学思想，灵活运用已知公式，以及推理的能力。
思路点拨】（i）由题意，所给公式对都成立，故可给，赋值，结合的值求解。
ⅱ）要证数列为等差数列，由等差数列的定义，需证为常数，即为常数，与所给公式比较可知，令，即，便可解决问题。
ⅲ）需先确定数列的同项公式，即求的表达式，由（ⅱ）知。
观察公式，保留，故需出现，可令或，当时，不便于计算，当时，即时，，又，此时由得，可求出。
从而解决问题。需注意等比数列求和时注意公比是否为，故需分类讨论。
规范解答】解：(i)由题意，令，可得，令。
ⅱ）当，由已知，令，由已知可得， 即，也即， ∴
数列是公差为的等差数列。
iii）由(i)、（可知数列是首项为，公差为的等差数列。
则， 即。另令可得，即。则，∴.
当时，当，，
式两边同乘可得。
①②得 ，综上，8.（2010·全国高考卷ⅱ理科·ｔ18）（本小题满分12分）
已知数列的前项和．
ⅰ）求；ⅱ）证明：．
命题立意】本题考查了数列的递推公式，极限的运算以及数列与不等式的证明综合运用知识。
【思路点拨】（ⅰ可以用表示，代入再求极限。（ⅱ结合不等式的放缩法证明。
【规范解答】（ⅰ
所以，ⅱ）当n=1时，
当n>1时，>
所以，当。9.（2010·上海高考理科·ｔ20）已知数列的前项和为，且，1）证明：是等比数列；
2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由．
命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n项和与第n项的关系．
思路点拨】由前n项和与第n项的关系，求出与的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出，再求，由估算n的值．
规范解答】（1）当n=1时，，所以；
当时，，化简得，，即，，所以是以为首项，公比为的等比数列．
2）由（1）得，所以，且=，由，得，又由解得n=15．
方法技巧】由数列的前n项和与第n项的关系，求通项时，要先求，然后时，由求。
10.（2010·上海高考文科·ｔ21）已知数列的前项和为，且，1)证明：是等比数列；
2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数。
命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n项和与第n项的关系．
思路点拨】由前n项和与第n项的关系，求出与的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出，再求，由解不等式，估算n的值．
规范解答】（1）当n=1时，，所以；
当时，，化简得，，即，，所以是以为首项，公比为的等比数列．
考点10数列的综合应用
温馨提示 此题库为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观。看比例，关闭word文档返回原板块。解答题。1.2011 湖北高考理科 t19 已知数列的前项和为，且满足 n 1 求数列的通项公式。2 若存在 n 使得，成等差数列，试判断 对于任意的n 且，是否成等差数列，并证明你的结论。...
综合应用 综合考点测试
一 填空。14分 1 如下图，如果左边在刻度4上放6个棋子保持不变，那么，若想保持平衡，右边分别在各个刻度上放几个棋子？请填一填。10分 2.有8个乒乓球，其中7个质量相同，另一个是次品，稍轻些，利用天平称量，至少称 次，才能一定找到那个次品。4分 二 算一算。16分 1.有一封80kg重的信件要寄...
数列综合学案3 数列的综合问题
第0 课时 主干知识 数列 3 数列的综合问题。2013年月日星期。班级姓名学习效果。一 旧知检测 1 在等差数列中，首项公差，若，则的值为a 37 b 36 c 20 d 19 二 呈现考点 学会综合解决数列的有关问题。三 回顾练习 2 2009年广东卷第21题，本小题满分14分 已知点 1，是函...