数列的综合应用。
知识回顾。典题解析。
知识点一数列与不等式应用。
例题1.已知为锐角，且，函数，数列的首项。
⑴ 求函数的表达式； ⑵求证：；
求证： 分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。
解：⑴ 又∵为锐角。
都大于0, ,又∵
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。
例题2. 已知函数，数列满足，
数列满足，.求证：
（ⅲ）若则当n≥2时，.
分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。
解：(ⅰ先用数学归纳法证明，.
（1）当n=1时，由已知得结论成立；
（2）假设当n=k时，结论成立，即。则当n=k+1时，因为0所以f(0) 故当n=k+1时，结论也成立。 即对于一切正整数都成立。
又由， 得，从而。
综上可知。(ⅱ)构造函数g(x)= f(x)=,0 由，知g(x)在(0,1)上增函数。 又g(x)在上连续，所以g(x)>g(0)=0.
因为，所以，即》0,从而。
ⅲ) 因为，所以， ,
所以 ——由(ⅱ)知：, 所以= ,因为， n≥2,
所以<<=
由两式可知：.
点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。
知识点二数列的实际应用。
例４ 某人，公元2024年参加工作，考虑买房数额较大。需做好长远的储蓄买房计划，打算在2024年的年底花50万元购一套商品房，从2024年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：
方案1：从2024年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2024年年底，可以从银行里取到多少钱？
若想在2024年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？
方案2：若在2024年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2024年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？
解：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为：
≈33.51（万元）
设每年存入x万元，在2024年年底能够存足50万则：
解得x=4.48（万元）
分析：通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；
方案二：分析方法1：设每年还x，第n年年底欠款为，则。
2024年底： =50（1+4.425%）–x
2024年底： =1+4.425%）–x
50–（1+4.425%）·x–x …
2024年底： =1+4.425%）–x
50×–·x–…–1+4.425%）·x–x
解得：≈6.29（万元）
分析方法2：50万元10年产生本息和与每年存入x的本息和相等，故有。
购房款50万元十年的本息和：50
每年存入x万元的本息和：x·+x·+…x
·x从而有 50＝·x
解得：x=6.29（万元） ，10年共付：62.9万元。
基本训练。1. 数列中， ，则。
2. 等差数列中，，公差不为零，且恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。
3.是等差数列的前n项和，，若，则m
4. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是，且，则数列的前10项和为。
5. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则。
能力提高。1. 等差数列的前n项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
abcd.
2. 已知等差数列和等比数列各项都是正数，且，那么，一定有（ ）
ac. 3. 等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为 。
4. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为___这个数列的前n项。
和的计算公式为。
5. 三个实数排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①；3；③；7。
其中正确的序号是。
6. 用数字0, 1, 2, 3, 5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列，则。
7. 已知等差数列的公差，数列是等比数列，又。
1）求数列及的通项公式；
2）设，求数列的前n项和（写成关于n的表达式）。
8. 设有数列，，若以为系数的一元二次方程，且都有根满足。
1）求证：数列是等比数列；
2）求；3）求的前n项和。
答案：基础训练。
能力提高：1、c 2、b 7、（1） （2） 8、（1）略 （2） （3）
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