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解答题。1. （2011·湖北高考理科·t19）
已知数列的前项和为，且满足： ，n*，.
1）求数列的通项公式。
2）若存在 n*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的n*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论。
思路点拨】(1)利用，将转化为，再分与两种情况求解。（2）时易证明；时，由“存在使得成等差数列”可得，据此可求出，最后可证明，即对任意的且时，有成等差数列。
精讲精析】⑴由已知，可得，两式相减可得。
即，又，所以时，数列为：
当且时，由已知，所以，于是由，可得，成等比数列，综上，数列的通项公式为。
对于任意的n*，且，，，成等差数列。证明如下 ：
当时，由⑴知，
对于任意的n*，，且，，，成等差数列。
当，时，∵，
若存在，使得成等差数列，则，，即，由⑴知，的公比，于是对于任意的n*，，且，从而，，即成等差数列。
综上，对于任意的且时，有成等差数列。
2.（2011·湖北高考文科·ｔ17）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列中的，，.
1) 求数列的通项公式。
2) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。
思路点拨】(1)设等差数列的三个正数分别为，由已知条件可构造含有的方程组求解。(2)由先求出，再利用定义证明数列是等比数列。
精讲精析】(1)设等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d.
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5.
所以中的b3,b4,b5依次为7-d，10,18+d.
依题意，有(7-d)(18+d)=100，解得d=2或d=-13(舍去).
故的第3项为5，公比为2.
由b3=b1·22，即5=b1·22，解得。
所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：
2)数列的前n项和，即。
所以，. 因此数列是以为首项，公比为2的等比数列。
3．（2011·全国高考理科·ｔ20）设数列满足且。
1）求的通项公式。
2）设。思路点拨】解本题关键是由式子得到是等差数列，进而可求出数列的通项公式。（2）问先求出的通项公式，注意观察能采用裂项相消的方式求和。
精讲精析】 (1)是公差为1的等差数列，所以。
所以。2)，4.（2011·上海高考理科·t22）已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
1）写出。2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为。
3）求数列的通项公式。
思路点拨】本题考查数列有关知识，利用两个等差数列，组合成一个新的数列，进而考查新数列的性质，以及求其通项公式，紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键。
精讲精析】（1）对数列，依次是9，12，15，18，21,…
对数列，依次是9，11，13，15，17，19，21,…，所以，，，
2）表示的是从12开始的所有的能被6整除的数，当然能被2整除，而表示的是从9开始的所有奇数，故均不在中；再证明：项均在中，，表示的是从9开始除以6余3的数，故都是奇数，而表示的是从9开始的所有奇数，故项均在中，这就证明了在数列中但不在数列中的的项恰好是所有的偶数项。
3）根据上面的讨论可知6是数列在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6个自然数中，第一项一定是与的公共项，第二项不存在于中，第三项一定是中的项，第四项一定是中的项，第五项是中的项，第六项不在中，这样的话数列是以4为截取周期的，故的通项公式是。
5.（2011·上海高考文科·t23）已知数列和的通项公式分别为， .将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项。
2）数列中有多少项不是数列中的项？请说明理由。
3）求数列的前项和。
思路点拨】本题考查数列的有关知识，利用两个等差数列，组合成一个新的数列，进而考查新数列性质，以及求其通项公式，紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键。
精讲精析】（1）显然表示的是从9开始能被3整除的所有的正整数，bn=2n+7表示从9开始的所有奇数，故最小的三个数为9，15，21.
2）可知6是数列在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6项自然数中，第一项一定是与的公共项，第二项不存在于中，第三项一定是中的项，第四项一定是中的项，第五项是中的项，第六项不在中，这样的话数列是以4为截取周期的，故的通项公式是。
c1，c2，c3，…，c40中有10项不是数列中的项。
3）因为=，故。
6.（2011·四川高考文科·ｔ20）
已知是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和。
1）当成等差数列时，求的值。
2)当成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列。
思路点拨】（1）直接利用求公比。
2)当时，显然成等差数列。
当时，即为。
可得再证明成立。
精讲精析】（1）由已知得。
当成等差数列时，可得化简得。
解得。(2)若的每项，此时显然成等差数列。
若由成等差数列可得。
即。整理得。
成等差数列。
7.(2011·重庆高考理科·t21)
设实数数列的前项和满足（n）
1)若成等比数列，求和。
2)求证：对有。
思路点拨】根据题目中的条件可以列出等式，求和的值，灵活运用题目中的条件，找到与的关系是求解第二问的关键。
精讲精析】(1)由题意得，由是等比中项知，因此。
由解得。2)由题设条件有。
故且 故对有。
因且，由①得。
要证由①只要证
即证，即。此式明显成立。
因此。最后证。假设，
又因，故，即，矛盾。
因此。 综上，对有。
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