三、定义新运算（一）
年级班姓名得分
一、填空题。
1.规定a☉b =,则2☉(5☉3)之值为 .
2.规定“※”为一种运算，对任意两数a,b,有a※b,若6※x,则x=
3.设a,b,c,d是自然数，定义。则。
4.[a]表示自然数a的约数的个数。例如，4有1,2,4三个约数，可以表示成[4]=3.计算。
5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x
6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如，13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算，(26☆9) ☆4
7.对于数a,b,c,d规定。如果，那么x= .
8.规定：6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .
9.规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉为选择两数中较小数。例如：3△5=5,3☉5=3.那么，[(7☉3)△5]×[5☉(3△7
10.假设式子表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子表示经过计算后，b的值为原来a与b的值的差。设开始时a=2,b=2,依次进行计算， ,则计算结束时，a与b的和是。
二、解答题。
11.设a,b,c,d是自然数，对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下： (a,b)※(c,d)= a+c,b+d);又定义运算△如下：
(a,b)△(c,d)= ac+bd,ad+bc).试计算((1,2) ※3,6))△5,4)※(1,3)).
12.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果是羊，或是狼。求下式的结果：
羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).
13. 表示成；
表示成。试求下列的值：
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：.
14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数，余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.
1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.答案。
依题意，6※,因此，所以x=8.
原式。因为有个约数，所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式。
因为4※1=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
26☆9=8,又，故(26☆9)☆4=8☆4=0.
因为，所以，故。
原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.
第1次计算后，;第2次计算后，;第3次计算后，;第4次计算后，.此时。
原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).
12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼。
(3)因为，所以；
(4)令则。
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注意，x≠11),即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两种情况讨论。
1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.
因此(2)的解为x=3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些，但我们可以用同样的方法来解。
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数，19☉x都比19小，所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时，分两种情况解19☉x=7.
1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45.
当y=14时，分两种情况解19☉x=14.
1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的。
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.
总之，方程(19☉x)☉19=5有四个解，x=12,26,33,45.
六年级奥数题 定义新运算
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