六年级数学思维训练教材

第1讲巧求分数。

我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。

数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。

个分数。分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。

这个分数是多少？

分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：

这个分数是多少？

于是与例3类似，可以求出。

在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？

数a。分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。

求这个自然数。

同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变。

例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新数，分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到。

分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。

在例8中，分母应加的数是。

在例9中，分子应加的数是。

由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：

分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；

分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。

分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。

（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。

练习1是多少？

答案与提示练习1

5.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。

6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。

解：设分子为x，根据分母可列方程。

第2讲分数运算的技巧。

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

1.凑整法。

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

2.约分法。

3.裂项法。

若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。

例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的。

就非常简单了。

括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：

所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。

的10和30，仍是符合题意的解。

4.代数法。

5.分组法。

分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为。

原式中分母为2～20的分数之和依次为。

练习28.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。

第3讲循环小数与分数。

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？

我们先看下面的分数。

1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化。

因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。

2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。

3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与。

5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到结论：

一个最简分数化为小数有三种情况：

（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；

（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；

（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？

分析与解：上述分数都是最简分数，并且。

32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17，根据上面的结论，得到：

不循环部分有两位。

将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。

1.将纯循环小数化成分数。

将上两式相减，得将上两式相减，得。

从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。

纯循环小数化成分数的方法：

分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。

2.将混循环小数化成分数。

将上两式相减，得。

从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。

混循环小数化成分数的方法：

分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。

例6 计算下列各式：

练习31.下列各式中哪些不正确？为什么？

2.划去小数0.27483619后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如0.274836。请找出这样的小数中最大的与最小的。

3.将下列纯循环小数化成最简分数：

4.将下列混循环小数化成最简分数：

5.计算下列各式：

答案与提示练习3

1.（1）（3）（4）不正确。

第4讲圆柱与圆锥。

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

例1 如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）

分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

时桶的容积是。

桶的容积是。

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：

瓶内现有饮料多少立方分米？

分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。

将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶。

中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

解：皮球的体积是。

水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。

答：水面升高了0.5厘米。

例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为。

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

解：被熔的圆锥形铝块的体积：

被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米3）。

熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷152） =21600π÷225π=96（厘米）。

答：熔铸成的圆柱体高96厘米。

练习41.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？

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