第一讲立体图形及展开。
同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图。
例题选讲。例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点f、点g分别与哪个点重合？
分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2)。从图中不难看出点f与点n，重合，点g与点s重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧！
例2:一只小虫从图l所示的长方体上的a点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达p点。请你为它设计一条最短的爬行路线。
分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接ap，则线段ap为小虫爬行的最短路线。
练习与思考。
1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点b、点d分别与哪个点重合？
2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从a点沿表面爬向b点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条？
3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米？
4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。
5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则a、b、c处填的数各是多少？
第二讲长方体和正方体的表面积。
在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。
例题选讲。例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2x2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。
长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)
例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。
分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少？
分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。
练习与思考。
1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米？
3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。
4.有一个长方体，长是8厘米，宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？
第三讲长方体和正方体的体积。
前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。
例题选讲。例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方。
厘米？分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100÷4—25(平方厘米)，那么长方体底面正方形的边长就是25÷5=5(厘米)，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米)。
例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米？
分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有12×2=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了4×2=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于24—8=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米)，则每块正方体木块的体积是：6×6×6=216(立方厘米)。
例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。
分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘米)，共凿小长方体3个，即4×3=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重复凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是4×4×4—12+1×2=54(立方厘米)。
练习与思考。
1． 把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，求原长方体的体积。
2． 用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是。
80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米？
3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的。
4． 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、
高都是质数，这个长方体的体积是多少？
5．一个表面积是36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米？
6． 一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如。
果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。
第四讲水面高度变化和等积变换。
水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲。例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米？ 、
分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米。
5÷(25x20)+15
=o．25+15
=15．25(分米)
答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长。
多少厘米？分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20
=25(厘米)
练习与思考。
1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米？
2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。
3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
4．现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？
5．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。问：这个水箱的容积是多少？
6．在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米？
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