2024年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
理科数学试题答案与解析。
1．解析 .故选c.
2．解析 ．
故选b.3．解析退出循环，输出。故选b.
4．解析由消去得，，所以，即，所以点到直线的距离，所以所求弦长。故选d.
5．解析作出可行域（如图），为内部（含边界）.由题设取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合。
由，，可得或或，验证：或时，成立；时，不成立。故选d.
6．解析因为，所以的周期，又因为当时，，所以，即，所以，所以。故选a.
7. 解析根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为。故选a.
8．分析本题考查正方体中异面直线所成的角。
解析因为一条对角线成的直线有条，所以对。故选a.
9.分析本题考查绝对值函数的最值。
解析依几何性质得，当时，取得最小值，，解得或。故选d.
10．分析本题考查直线与圆的位置关系。
解析设，，则，画出图象，由区域为单位元，区域为圆环。，所以。故选a.
11. 解析根据题意设，则的图像关于轴对称，所以，即，所以，所以。所以当时，的最小正值为。
12. 解析设的公差为，则，，由题意可得。
所以，所以，所以，所以，所以公比。
13. 解析根据题意知，，，结合二项式定理得，即，解得。
14. 解析不妨设点在第一象限，因为轴，所以（其中，，）又因为，所以由，得，代入得，又，所以。故椭圆的方程为。
15. 分析本题考查向量的数量积的最值。
解析有种结果：，因为。
所以中最小值为。
若，则与无关，因此命题②正确。
若，则与有关，因此命题③不正确。
若，则，故④正确。
若，则，故，得，故，所以⑤不正确。因此正确的命题是②④.
16. 分析本题考查解三角形与三角恒等变换。
解析 （1）由，，得，即，即，，所以，得，因此（为锐角）. 由正弦定理，得。
2），且，所以。
17. 解析用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”则，，
)的可能取值为。
故分布列为。
评注题考查了独立事件同时发生，互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等概率知识；考查应用意识、运算求解能力；准确理解题意是解题的关键；准确运算求解是得分的关键。
18. 解析 （ⅰ函数的定义域为，.
令，得，所以。
当或时，；当时，.
故在和内单调递减，在内单调递增。
）因为，所以，.
当时，.由（ⅰ）知，在上单调递增。所以在和处分别取得最小值和最大值。
当时，.由（ⅰ）知，在上单调递增。在上单调递减。所以在处取得最大值。
又，，所以当时，在处取得最小值；
当时，在处和处同时取得最小值；
当时，在处取得最小值。
评注本题考查了函数的单调性、极值、最值，以导数为工具对函数进行分析等知识；考查分类讨论的数学思想，运算求解能力。
19. 分析本题考查抛物线中的几何性质。
解析 （1）设直线、的方程分别为， ，则由，得， 由，得。
同理可得，.
所以。故，所以。
2）由（1）知，同理可得，.
所以，因此，又由（1）知，故。
评注灵活应用几何性质求解时本题最大亮点。与北京19题归为一类，灵活应用几何性质求解几何问题。
20. 解析 （）证明：因为，，，所以平面平面。从而平面与这两个平面的交线相互平行，即。
故与的对应边相互平行，于是。
所以，即为的中点。
）如图1，连接，.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则，所以，又，所以，故。
）解法一：如图1，在中，作，垂足为，连接。又，且，所以平面，于是。
所以为平面与底面所成二面角的平面角。因为，，所以。又因为梯形的面积为6，，所以，.
于是，.故平面与底面所成二面角的大小为。
解法二：如图2，以为原点，，的方向分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系。
设。因为，所以。从而，所以，.
设平面的一个法向量为，由，得，，所以。又因为平面的一个法向量为，所以，故平面与底面所成二面角的大小为。
评注本题考查了空间直线、平面间的平行、垂直，柱、锥体积，二面角等知识；考查综合推理，转化与化归的意识，运用向量推理计算的能力；准确把握空间结构进行推理证明时解题的关键。
21．解析 （1）证明：用数学归纳法证明：
当时，，原不等式成立。
假设时，不等式成立。
当时，所以时，原不等式也成立。
综合①②可得，当，时，对一切整数，不等式均成立。
2）证法一：先用数学归纳法证明。
当时，由题设知知成立。
假设时，不等式成立。
由，易知，.
当时，.由得。
由（1）中的结论得，因此，即。
所以，不等式也成立。
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立。
再证：，利用，因为，，所以，因此，且，故。综上所述，.
证法二：设，，则，并且，.
由此可得，在上单调递增。
因此，当时，.
所以，当，得。
依此类推，可得。
再证明： （即证明数列单调递减）
利用作商比较：，且，故。因此。
评注本题综合考查了数列、导数、不等式等知识，熟练运用数学归纳法，推理证明是解题的关键，背景常规，入手较宽，深入较难，两小题关联巧妙。证法二运用导数工具，构造函数，**单调性，分析求解。
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