2023年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试题答案与解析。
1. 解析因为，所以，所以。
2. 解析因为，所以。
3. 解析要使函数有意义，需有，即，解得，即函数的定义域为。
4. 解析因为“方程至少有一个实根”等价于“方程的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程没有实根”.
5. 解析因为且，所以，所以。
6. 解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以。又当时，即，所以。故选d.
评注本题考查对数函数的图像、单调性，考查识图及分析问题、解决问题的能力。
7. 解析因为，，所以，，，又，的夹角为，所以，即，所以，解得。
8. 解析由题图可知，第一组与第二组的频率之和为。因为第一组与第二组共有人，所以该试验共选取志愿者人，故第三组共有人，所以第三组中有疗效的人数为。
评注本题考查频率分布直方图的意义以及学生的识图、用图能力。
9. 解析由，得函数的图像关于直线对称，易知a，c错误。又因为，而函数图像的对称轴为直线，故b错误，故选d.
评注本题以新定义的形式考查了函数图像的对称性，考查学生运用所学知识分析问题、解决问题以及知识迁移运用的能力。本题易错点有处：①误把“准偶函数”当作“偶函数”而错选b；②忽视条件而错选b；③不能从关系式得出函数的图像关于直线对称而致错。
10. 解析不等式组表示的平面区域为图中的阴影部分。由于，，所以目标函数在点处取得最小值，即。
解法一：，即的最小值为4.
解法二：表示坐标原点与直线上的点之间的距离，故的最小值为，即的最小值为4.
评注本题考查线性规划与最值问题，考查学生运算求解的能力以及数形结合和转化与化归思想的应用能力。
11. 解析 ，输出。
12. 解析 ,所以该函数的最小正周期为。
13. 解析设六棱锥的高为，斜高为。因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为，则，得，所以，所以该六棱锥的侧面积为。
14. 解析因为圆心在直线上，且圆与轴相切，所以可设圆心坐标为，则，解得。又圆与轴的正半轴相切，所以，故圆的标准方程为。
评注本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的求法，考查学生运算求解能力以及运用数形结合思想求解问题的能力。本题的易错点时忽视圆与轴的正半轴相切。
15. 解析 ，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为知，双曲线过点，即。②
由，得，③由①③得。④
将④代入②，得。所以，即，故双曲线的渐近线方程为，即。
评注本题考查抛物线，双曲线的标准方程及几何意义，考查学生的运算求解能力。
16. 解析 （）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：，，所以，，三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
）设6件来自，，三个地区的样品分别为：；，则抽取的这件商品构成的所有基本事件为共个。每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。
记事件：“抽取的这2件商品来自相同地区”则事件包含的基本事件有，，，共4个。所以，即这2件商品来自相同地区的概率为。
17. 解析 （）在中，由题意知，，因为，所以。由正弦定理可得。
）由得。由，得。所以。
因此的面积。
18. 解析 （）设，连接，.由于为的中点，，，所以，，因此四边形为棱形，所以为的中点。又为的中点，因此在中，可得。又平面，平面，所以平面。
）由依题知，，所以四边形为平行四边形，因此。又平面，所以，因此。因为四边形为棱形，所以。又，，平面，所以平面。
19. 解析 （）由题意知，即，解得，所以数列的通项公式为。
）由题意知。所以。因为，所以当为偶数时，当为奇数时，所以。
评注本题考查等比数列和等差数列的综合应用、等差数列的通项公式及数列的求和，分类讨论思想和逻辑推理能力。
20. 解析 （）由题意知时，此时。可得，又，所以曲线在处的切线方程为。
）函数的定义域为。
当时，，函数在上单调递增，当时，令，.
当时，，，函数在上单调递减。
当时，，，函数在上单调递减。
当时，，设， 是函数的两个零点，则，.
由于，所以时，，，函数单调递减，时，，，函数单调递增，时，，，函数单调递减，综上可得：
当时，函数在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，评注本题考查了导数的几何意义以及利用导数讨论函数的单调性，考查了学生利用分类讨论思想求解问题的能力以及逻辑推理和运算求解能力。
21. 解析 （）由题意知，可得，椭圆的方程可简化为。将代入可得，因此，可得。因此，所以椭圆的方程为。
）（）设，，则，因为直线的斜率，又，所以直线的斜率。设直线的方程为，由题意知，.由可得。
所以，因此。由题意知，所以。所以直线的方程为。
令，得，即。可得。所以，即。
因此存在常数使得结论成立。
）直线的方程为，令，得，即。由（）知，可得的面积。因为，当且仅当时等号成立，此时取得最大值，所以面积的最大值为。
评注本题考查了椭圆的标准方程、离心率，直线与椭圆的位置关系以及存在性问题和最值问题，综合性较强，难度较大，考查了学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及函数与方程思想在解析几何中的应用。
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